Wykaż, że ciąg nie ma granicy Sebbx: Wykaż, że ciąg nie ma granicy

	ncos(n+2)
an=
	n+1

Rozwiązałby ktoś to zadanie i wytłumaczyć mi mniej więcej co tam zostało zrobione? Mniej wiecej wiem jak to zrobić, ale bardziej mniej niż więcej.

Adamm: cos(n+2) nie ma granicy czy trzeba to uzasadniać?

Blee: 3 raz wrzucasz ten sam problem Tak jak Adamm napisał −−− musisz de facto pokazać że ciąg b_n = cos(2+n) nie posiada granicy

Sebbx: No dobrze, tylko jak to pokazać? Nie rozumiem tego co tu piszecie... Dodaje bo dalej nie dostałem jasnej (dla człowieka nie związanego mocno z matematyką) odpowiedzi...

Adamm: No i takiej nie dostaniesz, bo to nie jest łatwe.

Sebbx: Nigdy nie robiłem żadnego zadania z wykazaniem granicy, to mój pierwszy przykład jaki widziałem a kolokwium na następnych zajęciach

Sebbx: Wiem że dokładnie taki przykład będzie, głupio było nie nie dostać punktów za przykład który był podany tydzień wcześniej

Blee: Wybacz, ale jakoś ciężko mi uwierzyć, że nie miałeś tego na zajęciach (wykłady wliczając). Także − wątpię aby to konkretne zadanie było na kole (jeżeli nie było analogiczne zadanie rozwiązane na zajęciach) ponieważ nie można tego tak łatwo wykazać jak chociażby: b_n = cos(πn) nie posiada granicy

Sebbx: Profesor napisał sam to na tablicy i mówił, że takie zadanie będzie : / Jeszcze nikt odemnie z grupy tego nie rozwiązał

Adamm: no dobra, przesadzam trochę cos(n+2)>cos(1) ≈ 0.5 2πm−3<n<2πm−1 dla każdego m takie n istnieje, bo (2πm−1)−(2πm−3) = 2 > 1 cos(n+2)<cos(2) ≈ −0.5 2πm<n<2mπ+2π−4 i dla każdego m takie n też istnieje, bo 2π−4 > 1 mamy jeden podciąg n_k, że cos(n_k+2)>cos(1) i drugi taki że cos(n_l+2)<cos(2) takie podciągi istnieje, bo znajdziemy nieskończenie wiele n dla których spełnione są te nierówności gdyby cos(n+2) miał granicę g, to cos(n_l+2) → g ≥ cos(1) oraz cos(n_k+2) → g ≤ cos(2) ale wtedy 0<cos(1)≤cos(2)<0 to jest oczywiście sprzeczność

Sebbx: Bardzo dziękuję!

Adamm: chodzi tu o coś takiego chcemy pokazać, że istnieje nieskończenie wiele n, że a_n≥g₁ oraz nieskończenie wiele n, że a_n≤g₂, gdzie g₁>g₂. Stąd możemy wybrać nasze podciągi. Ja sobie obrałem g₁ = cos(1) i g₂ = cos(2), bo tak wydawało mi się że będzie najbardziej wygodnie.