Zbadaj ekstrema funkcji Michał: Hej mam pytanie, do zadania gdzie mam obliczyć ekstremum funkcji... ale zacinam się na równaniu po policzeniu pochodnej. Mógłby ktoś pomóc, proszę Polecenie: zbadaj ekstremum funkcji z=f(x,y). a) f(x,y)=x³+3x²y06xy−3y²−15x−15y Moje obliczenia

f'
	=3x2+6xy−6y−15
x'

U{f'}[y'}=3x²−6x−6y−15 {3x²+6xy−6y−15=0 /:3 {3x²−6x−6y−15=0 /:3 {x²+2xy−2y−5=0 {x²−2x−2y−5=0

	5−x2
I teraz jakieś sugestie jak to fajnie machnąc bo podstawiać za y=		wydaje mi się
	2x−2

nieco trudnym rozwiązaniem Dodawanie stronami też jakoś tak meh... niezbyt. Proszę o pomoc dziękuję. b)f(x,y)=x³+y³−3axy huhuhu tutaj nie jestem pewien to a też traktować jako niewiadomą? Liczyć pochodne po a też? Czy coś sprytniejszego? I jak potem wyglądała by ta macierz, hesjan z wpisanymi wartościami po pochodnych, pochodnych?

f'
	=3x2−3ay
x'

f'
	=3y2−3ax
y'

f'
	=−3xy
a'

c) to policzyłem chyba ale nie wiem czy dobrze, proszę o ocenę specjalisty f(x,y)=x²−xy+2y²−x+4y−5

f'
	=2x−y−1
x'

f'
	=−x+4y+4
y'

{2x−y−1=0 {−x+4y+4=0 /*2 {2x−y−1=0 {−2x+8y+8=0 | + 7y=−7 y=−1 2x−(−1)−1=0 x=0 A(0,−1)

f''
	=2
x''

f''
	=4
y''

U{f''}[x'y'}=−1

f''
	=−1
y'x'

H_A= [ 2 −1] [−1 4] |h|_A=7 |H|>0

f''
	>0 czyli w punkcie A jest minimum lokalne
x''

DObrze rozkminiłem?

Jerzy: a) Nie dodawaj,tylko odejmij stronami.

Jerzy: b) a to parametr,a nie zmienna.

Michał: a) {x²+2xy−2y−5=0 {x²−2x−2y−5=0 |− 2xy+2y−5=0 //po odjęciu stronami nadal mam dwie niewiadome co z tym mogę to dalej liczyć? 2y(x+1)=5 czyli y=2.5 i x=0 v y=1/2 i x=4 I to są moje dwa rozwiązania dla których liczę te hesjany itd?

Michał: b) uh parametr dobra to sobie zostawię na koniec , a mógłbyś Jerzy zerknąć na c) wydaje się oki? =) Proszę.

Jerzy: a) źle odjąłeś,skąd 5 po prawej ?

Michał: a prawda przepraszam 2xy−2x=0 2x(y−1)=0 czyli x=0 i y ∊ R lub y=1 i x ∊ R hmn zgadza się ?

Michał: kurczaki 2xy+2x a nie minus eh 2x(y+1) x=0 i y=−1 hmn?

jc: Czy mógłbyś napisać porządnie przykład (a), f(x,y)=...

Michał: f(x,y)=x³+3x²y−6xy−3y²−15x−15y

f'
	=3x2+6xy−6y−15
x'

f'
	=3x2−6x−6y−15
y'

⎧	3x2+6xy−6y−15=0
⎩	3x2−6x−6y−15=0 /−

6xy+6x=0 /:6 xy+x=0 x(y+1)=0

Jerzy: Czyli masz: x = 0 lub y = −1

Michał: Zgadza się okay i teraz wiem że funkcja ma punkt stacjonarny A (0,−1) więc sprawdzać będę dla niej czy wyznacznik po podwójnej pochodnej >0 i czy podwójna pochodna po x jest >0 czy <0 to robię to:

f''
	=6x+6y
x''

f''
	=−6
y''

f''		f''
	=		=6x−6
x'y'		y'x'

	⎧	6x+6y 6x−6
W(A)=	⎩	6x−6 −6

	⎧	−6 −6
=	⎩	−6 −6	=36−36=0 nie da się określić ekstremum bezpośrednio czyli badam na początku

funkcję jednej zmiennej dla x f(x,−1)=x³−3x²−9x+12 no i tu dla x=0 minimum to 12 Teraz zbadamy funkcję jednej zmiennej, ze względu na niewiadomą y f(0,y)=−3y²−15y no i tu dla y=−1 mam −3+15=12

f''
	był ujemny czyli jakie wnioski w sumie że tu maximum dla y=−1?
y''

To gdy wyznacznik wyszedł = 0 mnie chyba przerosło co należy robić i jak... Proszę o korekty i dziękuję za poświęcony mi czas

Jerzy: Chyba nieco się zdekoncentrowałeś. Przecież masz rozwiazać układ równań: f'_x = 0 f'_y = 0 Wczorajszy wpis 17:59 nie jest rozwiazaniem tego układu, a jedynie równania: x(y + 1) = 0

Michał: Oki =) masz rację Jerzy, dzięki poprawiam f'/x'=3x²+6xy−6y−15=0 dla x=0

	15
y=		=−2,5
	−6

f'/y'=3x²−6x−6y−15=0 dla y=−1 2x²−6x+6−15=0 x²−2x−3=0 Δ=16 x₁=−1 x₂=3 Czyli moje punkty to A(0,−2.5) B(−1,−1) C(3,−1) I teraz będę sobie te macierze robił.

Michał: Pochodne drugiego rzędu wyliczyłem wyżej więc nie będę przepisywał podstawiam do macierzy

	⎧	6x+6y 6x−6
[H]A=	⎩	6x−6 −6	=

	⎧	−15 −6
=	⎩	−6 −6	WA>0 i f''xx(x,y)<0 czyli w punkcie A mamy maksium lokalne

	⎧	−12 −12
[H]B=	⎩	−12 −6	WB<0 brak ekstremum dla B

	⎧	12 12
[H]C=	⎩	12 −6	WC<0 brak ekstremum dla C

czyli mam ekstremum globalne w punkcie A i jest to maksimum funkcji

Jerzy:

	f'
Unikaj zapisów:		, bo nie mają sensu.
	x'

Jerzy: Nie sprawdzałem 12:39.Punkty stacjonarne dobre.

Michał:

	δf		Ω2f
Do 12:41 czyli inny zapis		a potem		tak chyba lepiej ?
	δx		δx2

Jerzy: Możesz też uzywać zapisów: f'_x , f"_xx , f"_xy

Michał: okay dzięki zapamiętam wziąłęm się za kolejny przykład prosiłbym jeżeli jest szansa i masz czas Jerzy abyś zerknął czy dobrze robię =D (bardzo, bardzo Ci dziękuję). f(x,y)=x²−6xy+y³+3x+6y f'_x=2x−6y+3 f'_y=−6x+3y²+6

⎧	2x−6y+3=0 /*−3
⎩	−6x+3y2+6=0	/dodajemy stronami

−3y²−18y−15=0/:−3 y²−6y+5=0 Δ=36−20=16 √Δ=4 y₁=1 y₂=5 liczę x₁ dla y₁ 2x₁−6+3=0 x₁=1,5 liczę x₂ dla y₂ 2x₂−30+3=0 x₂=13,5 i dalej zadanie, dla A(1.5 , 1) B(13.5 , 5)

Jerzy: Dlaczego po pomnożeniu przez (−3) dodajesz stronami i do tego źle? Skąd równanie: −3y² − 18y − 15 = 0 ?

Michał: Eh masz rację, nie wiem roztargnienie? Najgorsze, że na kartce miałem dobrze napisane, a jak przepisałem doszedłem do wniosku że jest źle... i poprzekreślałem... eh

⎧	2x−6y+3=0/*−3
⎩	−6x+3y2+6=0

⎧	−6x+18y−9=0
⎩	−6x+3y2+6=0	odejmuje stronami

y²−6y+1=0 Δ=36−4=32 √Δ=4√2

	6−4√2
y1=		=3−2√2
	2

y₂=3+2√2 2x₁−18+12√2+3=0 2x₁=15−12√2

	15−12√2
x1=
	2

	15+12√2
x2=
	2

Michał: Eh nie skomentuje tego ale znowu źle −9−+6 = −15.... poprawiam...

Michał: −3y²+18y−15=0 /:−3 y²−6y+5=0 Δ=36−20=16 √16=4 y₁=(6−4)/2=1 y₂=(6+4)/2=5 x₁=1.5 x₂=13.5

Michał: chyba jest okay ale mam za to problem z takim cudem: f(x)=1−√x²+y²

	1		x
f'x=12*		*2x=
	√x2+y2		√x2+y2

	y
f'y=
	√x2+y2

	y		x
⎧ =0   ⎩ =0   √x2+y2   √x2+y2   i tutaj że tak zapytam jak to zrobić żeby było dobrze bo tak w sumie nie wiem jak to zrobić napisać y=0 i x=0? 18 lis 15:22 Michał: hmn się rozjechało niekulturalnie x   = 0 √x2+y2   y   = 0 √x2+y2   18 lis 15:23