Rozłóż funkcję wymierną na sumę wielomianu i ułamków prostych Ols: Rozłóż funkcję wymierną f(x) na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych, jeśli

	x4−5x3+5x2−19x−1
a) f(x)=
	x3−5x2+4x−20

	x5−x4−5x3−3x−2
b)f(x)=
	x3−x2−5x−3

Mila: a) 1) (x⁴−5x³+5x²−19x−1) : (x³−5x²+4x−20 )=x −(x⁴−5x³+4x²−20x) ================= x²+x−1 reszta 2)

	x2+x−1
f(x)=x+
	x3−5x2+4x−20

================= 3) Q(x)=x³−5x²+4x−20 rozkładamy na iloczyn Q(5)=0 Q(x)=(x−5)*(x²+4) Ułamki proste:

x2+x−1		A		Bx+C
	=		+
x3−5x2+4x−20		x−5		x2+4

x²+x−1=A*(x²+4)+(x−5)*(Bx+C) Dla x=1 mamy: L=1 , P=5A+(−4)*(B+C)⇔5A−4B−4C=1 dla x=(−1) L=−1, P=5A+(−6)*(−B+C)⇔ 5A+6B−6C=−1 dla x=0 L=−1 i P=4A+(−5)*C⇔4A−5C=−1 =========== 5A−4B−4C=1 5A+6B−6C=−1 4A−5C=−1 −−−−−−−−−−po rozwiązaniu: A=1, B=0, C=1

	1		1
f(x)=x+		+
	x−5		x2+4

====================

Mariusz: x³−x²−5x−3 Przedstawiamy wielomian w postaci sumy potęg dwumianu Można to zrobić tak jak ja poniżej albo np stosując wielokrotnie schemat Hornera

	1		1		1		1
(x−		)3=x3−3*		x2+3*		x−
	3		3		9		27

	1		1		1
(x−		)3=x3−x2+		x−
	3		3		27

	1		16		1		1		1		16		16
(x−		)3−		(x−		)=x3−x2+		x−		−		x+
	3		3		3		3		27		3		9

	1		16		1		47
(x−		)3−		(x−		)=x3−x2−5x+
	3		3		3		27

	1		16		1		128		47		128
(x−		)3−		(x−		)−		=x3−x2−5x+		−
	3		3		3		27		27		27

	1		16		1		128
(x−		)3−		(x−		)−		=x3−x2−5x−3
	3		3		3		27

Niech

	1
y=x−
	3

	16		128
y3−		y−		=0
	3		27

Zakładasz że rozwiązanie jest w postaci sumy dwóch składników y = u+v (u+v)³=u³+3u²v+3uv²+v³ (u+v)³=u³+v³+3uv(u+v)

	16		128
(u+v)3−		(u+v)−		=0
	3		27

	16		128
u3+v3+3uv(u+v)−		(u+v)−		=0
	3		27

	128		16
u3+v3−		+3(u+v)(uv−		)=0
	27		9

Zapisujesz równanie w postaci układu równań

	128
u3+v3−		=0
	27

	16
3(u+v)(uv−		)=0
	9

Iloczyn jest równy zero gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero jednak wcześniej założyliśmy że y = u+v więc nie możemy przyrównać czynnika u+v do zera

	128
u3+v3=
	27

	16
uv=
	9

Przekształcasz układ równań tak aby otrzymać wzory Vieta równania kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³

	128
u3+v3=
	27

	4096
u3v3=
	729

Na podstawie wzorów Vieta ukladasz równanie kwadratowe

	128		4096
t2−		t+		=0
	27		729

	64
(t−		)2=0
	27

Tutaj akurat były rzeczywiste pierwiastki Gdyby ich jednak ni było musiałbyś skorzystać z zespolonych lub jeśli nie miałeś ich wprowadzonych z trygonometrii

	64
u3=
	27

	64
v3=
	27

	4
u =
	3

	4
v =
	3

y = u+v

	8
y =
	3

	1		8
x−		=
	3		3

x = 3 x³−x²−5x−3 x³−3x²+2x²−6x+x−3 x²(x−3)+2x(x−3)+(x−3) (x−3)(x²+2x+1) (x−3)(x+1)² b) x² x⁵−x⁴−5x³−3x−2:(x³−x²−5x−3) − (x⁵−x⁴−5x³−3x²) 3x²−3x−2

	3x2−3x−2
f(x)=x2+
	(x−3)(x+1)2

A		B		C		3x2−3x−2
	+		+		=
x−3		x+1		(x+1)2		(x−3)(x+1)2

A(x²+2x+1)+B(x+1)(x−3)+C(x−3)=3x²−3x−2 A(x²+2x+1)+B(x²−2x−3)+C(x−3)=3x²−3x−2 A+B=3 2A−2B+C=−3 A−3B−3C=−2 A+B=3 −4B+C=−9 −4B−3C=−5 A+B=3 −4B+C=−9 −4C=4 C = −1 −4B −1=−9 , −4B = −8 B=2 A+2=3 A = 1

1		2		1		3x2−3x−2
	+		−		=
x−3		x+1		(x+1)2		(x−3)(x+1)2

	1		2		1
f(x)=x2+		+		−
	x−3		x+1		(x+1)2

Mariusz: Jak widać można było rozkładać funkcję na sumę ułamków prostych tak jak podała Mila: ale nie chciało mi się zgadywać bo jeśli nie mamy podane że pierwiastki mają być wymierne sposób ten może nie być skuteczny

Ols: za późno, potrzebne było na wczoraj

Mila: Trzeba było się zainteresować , gdy miałeś rozwiązany przykład (a).

dan123: f(x)=x⁵+x⁴−8/x³−4x