Zbiory wlop: Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, C, D prawdziwe są zdania a)((A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C)) ⇒ ((A ∪ B) ⊆ C), b)((A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D)) ⇒ ((A ∪ C) ⊆ (B ∪ D)), c)((A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D)) ⇒ (A \ D ⊆ B \ C).

Blee: i z czym KONKRETNIE masz problem

wlop: Gdy mam takie zadanie tylko zamiast implikacji równoważność to do ich rozwiązania wykorzystuje rachunek zdań. Tutaj się to nie sprawdza albo ja nie potrafię tych konkretnych przykładów sprowadzić do równoważnych postaci tak aby (1⇒1 ∨ 0⇒0)⇔1 wykazać coś takiego. Wiec może ktoś mi poda jakiś inny sposób i rozwiąże nim przynajmniej 1 przykład żebym widział jak to wygląda.

ite: Np. a/ ((A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C)) ⇒ ((A ∪ B) ⊆ C) Kluczem do sukcesu jest zauważyć, że zamiast A⊆C można zapisać, że x∊A ⇒ x∊C, wtedy można już korzystać z praw rachunku zdań. Tutaj najszybciej jest zastosować prawo dodawania poprzedników.

wlop: Zrobiłem podpunkt a) wykorzystując prawo rozdzielności tylko nie mam pomysłu na następne. Oprócz zamiany implikacji na alternatywę nie widzę co dalej można by było z tym zrobić.

ite: b)((A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D)) ⇒ ((A ∪ C) ⊆ (B ∪ D)) Zamiast zawierania zbiorów w poprzedniku zapisz dwukrotnie implikacje, w następniku zamiast sum zapisz alternatywy i ich implikację i skorzystaj z prawa dodawania implikacji ((p⇒q) ∧ (r⇒s)) ⇒ ((p∨r) ⇒ (q∨s)) http://zsi.tech.us.edu.pl/~nowak/se/tautologie.pdf

ite: ostatnie najciekawsze c)((A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D)) ⇒ (A \ D ⊆ B \ C) A \ D = A ∩ D' B \ C = B ∩ C' można tę implikację zapisać w postaci (A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D)) ⇒ (A ∩ D' ⊆ B ∩ C') czyli należy wykazać że (x∊A ⇒ x∊B) ∧ (x∊C ⇒ x∊D)) ⇒ ((x∊A ∧ x∊D') ⇒ (x∊B ∧ x∊C')) implikację (x∊C ⇒ x∊D) zastępujemy przeciwstawną do niej (p⇒q) ⇔ (~q⇒~p) stąd (x∊D' ⇒ x∊C') otrzymujemy poprzednik w postaci (x∊A ⇒ x∊B) ∧ (x∊D' ⇒ x∊C')) teraz można wykorzystać prawo mnożenia implikacji ((p⇒q) ∧ (r⇒s)) ⇒ ((p∧r) ⇒ (q∧s)) więc (x∊A ⇒ x∊B) ∧ (x∊D' ⇒ x∊C')) ⇒ ((x∊A ∧ x∊D') ⇒ (x∊B ∧ x∊C'))