Granica ciągu GraniczęZCudem: Sprawdź, czy zbieżny ciąg: a₁=b a_n+1 = 2 − ³_4an dla n≥2 gdzie b≥ ¹₂. Jeżeli zbieżny − znajdź granicę.

Blee: szybko się wziąłeś za 'naukę' ... kiedy koło ? Jutro ?

GraniczęZCudem: Z naukę wziąłem się trochej wcześniej, jednak przyznam, że wczoraj już nieprzytomnie po kilku godzinach zacząłem publikować na forum nawet najprostsze przykłady. Przepraszam za delikatny śmietnik. Ale, wracając do rozwiązania: dla a₁ = 1/2 −−> a₂ = 1/2 stały zbieżny dla a₁ ∊ (1/2, 1) rosnący Teraz, proszę Państwa − problemy:

	3
g = 2 −
	4g

4g² = 8g − 3 g₁ = 1/2 g₂ = 3/2 Co oznacza, że ciąg nie jest monotoniczny, ale jest zbieżny Policzyłbym pochodną z wzoru n a_n+1, otrzymuję jednak f'(a) = 3/4 i nie wiem, co zrobić ze swoim życiem teraz. Chciałem sprawdzić, czy g znajduje się w określonym przedziale, jednak przegrałem. Prosiłbym o wskazówki. Może uznać a_n = b_n + g₁ lub + g₂? Tylko jak wówczas działać?

Blee: nie skoro g₁ = 1/2 g₂ = 3/2 to: 1) dla b∊(1/2 , 3/2) ciąg zapewne będzie zbieżny (do g₁ lub g₂ .... będzie do g₂) 2) dla b = 3/2 znowu będzie ciąg stały (sprawdź 3) dla b > 3/2 na 99.9% będzie rozbieżny do +∞

GraniczęZCudem: Jak udowodnić rozbieżność? Chyba najlepiej przez sprzeczność, tylko − którym sposobem?

Blee: najlepiej najpierw podstaw różne b i zobacz jak się będą 'zachowywać' pierwsze wyrazy ciągu, np. a₁ = 100

	3
a2 = 2 −		≈ 2
	400

	3
a3 ≈ 2 −		≈ 1,625
	8

	3		3
a4 ≈ 2 −		≈ 2 −		= 3/2
	6,5		6

jak widzisz ... jednak ciąg będzie (w tym przypadku) zbieżny do g₂ = 3/2 co widzimy że następuje bardzo szybko

Blee: tak naprawdę dla a₁ −> ∞ będziemy mieli a₂ −> 2

Blee: i wtedy dobrze by było tylko pokazać monotoniczność tego ciągu dla b>3/2 ... bo wtedy mamy zbieżność 'jak na dłoni'

GraniczęZCudem: Ech... Chciałem obliczyć a_n+1−a_n, jednak nie ta bajka. a_n = b_n + 2/3

	3
bn+1 − bn = 2 −		− (bn+1) −−>oznaczmy różnicę jako bs
	4*(bn+1)

a_n>g−ε b_n = g−d d<ε b_n+1 = b_n + b_s −−−> podstawiamy b_n=g−d Będziemy dążyć do oszacowania |b_n+1| < (stała<0)|b_n| Nie jestem tylko pewien, czy potrafiłbym poprawnie wyznaczyć stałą. Inne pomysły?

jc: Dla 1/2< a₁ < 3/2, ciąg a_n jest rosnący i ograniczony z góry przez 3/2. Dla a₁=3/2 ciąg jest stały. Dla a₁ > 3/2 ciąg jest malejący i ograniczony z dołu przez 3/2. Dla a₁ = 1/2 ciąg jest stały. Dla mniejszych a₁ ciąg jest rozbieżny. Piszę z pamięci, więc może coś mylę.

Blee: badamy funkcję:

	3
g(a) = 2 −		−a = f(a) − a
	4a

(czyli robimy to samo co w przypadku wyznaczania granicy) łatwo wykazać, że dla a > 3/2 mamy g(a) < 0 (czyli f(a) < a ... czyli a_n+1 < a_n ; jeżeli a_n > 3/2) związku z tym jeżeli a₁ > 3/2 to a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > ..... > a_k > 3/2 teraz warto by było pokazać, że jeżeli a₁ > 3/2 to nie istnieje taki k, że a_k > 3/2 oraz a_k+1 < 3/2 niech a_k = 3/2 + ε (ε>0), wtedy

	3		3		3
ak+1 = 2 −		(*) > 2 −		=
	6 + 4ε		6		2

(*)

	1		1		3		3
6+4ε > 6 (dla ε > 0) ⇔		<		⇔ −		> −		⇔
	6+4ε		6		6+4ε		6

	3		3
⇔2 −		> 2 −
	6+4ε		6

no to wykazaliśmy ograniczoność i monotoniczność ciągu dla a₁ > 3/2

jc: Dla a₁<1/2 jest inaczej niż napisałem. Myślę, że pomijając pewną (może nieskończoną) liczbę wartości, dla których ciąg jest źle określony, otrzymamy ciąg zbieżny. 0 →katastrofa 1/4 →−1 →11/4 i mamy ciąg zbieżny 3/8 →0 → awaria −1 →11/4 to już było, ciąg zbieżny

Bleee: jc i dlatego w zadaniu jest podane że a₁ ≥ 1/2 Obawiam się że będzie nieskończenie wiele takich a₁ dla których będzie katastrofa. Teraz szukasz takiego a₁ aby a₂ = 3/8 później krok dalej, itd. itp. Jednocześnie należy zauważy że jeżeli a_n < 0 to a_n+1 > 2 więc wskakujemy wyciąg malejąco, zbiezny do 3/2

jc: Ciąg zabronionych wartości a₁ opisany jest wzorem:

	3
b1 = 0, bn+1 =
	4(2−bn)

Mamy kolejno: 0, 3/8, 6/13, 39/80, 60/121, ...