Dowód nierówności Kreślnik: Załóżmy, że S_k jest ciągiem liczb rzeczywistych nieujemnych, s₁≤1 i dla każdego k≥1 spełniona jest nierówność: S_k+1≤2k+3∑^k _j=1 s_j Udowodnij, że S_k < 7^k dla wszystkich k naturalnych. Wskazówka: 2k < 1+2k <(1+2)^k na mocy nierówności Bernoulliego. Pomocy! Co to ma być

Blee: s₂ ≤ 2*1 + 3a₁ = 2 + 3a₁ ≤ 5 < 7² s₃ ≤ 2*2 + 3(a₁ + a₂) = 4 + 3(2 + 4a₁) ≤ 4 + 18 = 22 < 7³ s₄ ≤ 2*3 + 3(a₁ + a₂ + a₃) ≤ 2*3 + 3(7 + 7² + 7³) ≤ (1+2)³ + 7*7 + 6*7² + 5*7³ ≤ ≤ 7³ + 7² + 6*7² + 5*7³ = 7⁴ możesz to zrobić indukcyjnie (pokazałem Ci na przykładzie s₄ jak to możesz szacować)

Kreślnik: Blee, jak wyznaczyłeś wyrazy ciągu? Czy mógłbyś dokładniej wyjaśnić?

Blee: ja nie wyznaczam DOKŁADNYCH wartości wyrazów ciągu ... zauważ, że masz tutaj NIERÓWNOŚCI

Blee: 1) wiem, że a₁ ≤ 1 2) s₂ ≤ 2*1 + 3∑_j=1¹ s_j = 2*1 + 3*a₁ = 2 + 3a₁ ≤ 2 + 3*1 = 5 < 7² = 7^k