Podzielność liczb Kreślnik: Wykaż, że jeżeli n liczbą naturalną parzystą, to n³+20n dzieli się przez 48 (=3*2⁴) Utknąłem przy: n=2k n=8k³ + 40k

Blee: n = 2k 8k³ + 40k = 8k(k² + 5) i teraz −−− podzielne przez 2³ na pewno jest bo 2³ = 8 1) niech k będzie parzysta ... wtedy 8k podzielne przez 2⁴, natomiast k²+5 będzie podzielne przez 3 (patrz resztę z dzielenia przez 3) 2) niech k będzie podzielna przez 3 (i nieparzysta) ... wtedy k²+5 jest parzystą liczbą, więc jest podzielna przez 2 3) niech k będzie nieparzystą liczbą NIE PODZIELNĄ przez 3 ... wtedy k²+5 jest parzystą liczbą (podzielna przez 2) więc także podzielne przez 3 (patrz resztę z dzielenia przez 3)

Eta: L=n³+20n= n[(n²−4)+24]= n(n−2)(n+2+24n. i n=2k L=2*2*2*(k−1)*k(k+1)+48k dodaj komentarz i masz tezę

Eta: Poprawiam zapis n(n−2)(n+2)+24n

Eta: 2 sposób 8k(k²+5)= 8k[(k²−1)+6]= 8(k−1)k(k+1)+48k i komentarz (jak poprzednio) uzasadniający podzielność przez 48 pierwszego składnika tej liczby

PW: n³ + 20n = 8k³ + 40k = 8k(k² + 5) i dalej indukcja ze względu na k∊N.

jc:

	k+1 3
8k(k2+5)=48		+ 48k

Kreślnik: Czy moglibyście wyjaśnić komentarz Blee ,,Patrz na resztę z dzielenia przez 3"? Początki mojego sposobu, w którym utknąłem: Założenie: n³+20n = 48m Teza: (n+2)³+20(n+2) = 48n (n+2)³+20(n+2) = 48 + (20 + 12)n + 6n² + n³ = 48 + (n³ + 20n) + 12n + 6n² Możliwe wykazanie, że 12+6n² podzielne przez 48?

Blee: liczba k przy dzieleniu przez 3 może dawać następujące reszty: 1, 2 lub 0 (czyli podzielna przez 3) jeżeli k daje resztę 1 czyli jest postaci k = 3l + 1 to k² = (3l+1)² = 9l² + 3l + 1 <−−− czyli masz resztę 1 jeżeli k = 3l + 2 to k² = (3l + 2)² = 9l² + 6l + 4 = 9l² + 6l + 3 + 1 <−−− czyli znowu masz resztę 1

Blee: a co do Twojego rozwiązania ... a skąd wiesz czy n³ + 20n jest podzielne przez 48 Niech n=1 wtedy n³ + 20n = 21 <−−− no nijak nie jest to podzielne przez 48 (tak samo zresztą co 18 = 12 + 6 = 12n + 6n²

Blee: aaaa ... to jest dowód indukcyjny ale nadal ... przede wszystkim musisz podstawić n = 2k

Kreślnik: W dowodzie właściwym podstawiłem jako n=2. Próbowałem z n=2k i n+2=2k+2, jednak zrezygnowałem ze względu na nieczytelne rachunki.