Wykaż morganfreeman: Wykaż,że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierownosc Jak to zrobić indukcyjnie(nie chce mi się tego pisać z komentarzami niech.. ale mam nadzieję,że będzie w miarę zrozumiałe )?

	1		1		1		3
(1+		)*(1+		)*..*(1+		) <
	3		32		32n		2

sprawdzam dla n = 1

	1		3
1 +		<
	9		2

n = k + 1

	1		1		1		1		3
(1+		)*(1+		)*..*(1+		)*(1+		) ?<
	3		32		32k		32k+2		2

______

	90
No i ten podkreślony człon,jego największa wartość jest dla k = 1 i będzie to		.dla
	89

każdego większego k wartość będzie mniejsza

	3
Wiemy,że ta nierówność wejściowa jest mniejsza niż		,ale nie wiem co z tym dalej
	2

zrobić,bo przecież nie mogę chyba podstawić

	3		90		3
czegoś najbliżej		,pomnożyć *		i stwierdzić,że jest to <
	2		89		2

Blee: po pierwsze

	1
nie powinno być (1 +		) na początku
	3

po drugie −−− nie wykażesz tego w ten sposób

morganfreeman:

	1
przepisałem tak jak jest w książce − czyli z (1+		) na początku.
	3

Blee: to w takim razie n−1 −>

	1		1		3
(1 +		)*(1 +		) = .... <		a nie to co policzyłeś
	3		9		2

tak czy siak ... w tym przypadku indukcja matematyczna nie będzie zbytnio pomocna

morganfreeman:

	1
a no fakt..zapisałem,że tak jest w ksiązce a policzyłem bez tego (1+		),dziekuje za
	3

sprostowanie

Blee: ja bym spróbował tak to zrobić (na chwilę obecną nie wiem czy to coś da)

	1		1		1
(1 +		)*(1 +		)*....*(1+		) =
	3		32		32n

	3+1		32+1		32n−1 + 1		32n+1
=		*		*...*		*		<
	3		32		32n−1		3n

	3+1		32+1		32n−1 + 1		32n+3
<		*		*...*		*		=
	3		32		32n−1		3n

	3+1		32+1		32n−1 + 1		3(32n+1+1)
=		*		*...*		*		=
	3		32		32n−1		3n

	3+1		32+1		4*(32n−1 + 1)		1
=		*		*...*		*		<
	3		32		32n−1		32n

	3+1		32+1		4*(32n−1 + 3)		1
<		*		*...*		*		=
	3		32		32n−1		32n

	3+1		32+1		13(32n−2 + 1)		1		1
=		*		*...*		*		*		<
	3		32		32n−2		32n−1		32n

...... więc otrzymujesz w liczniku 3(1 + 3(1 + 3(1 + ..... 3(1+3)....) I czy możesz z tego jakoś 'wyłuskać' lepszą postać licznika ... nie wiem

jc:

	4*10*28
(1+1/3)(1+1/9)(1+1/27)=		>3/2
	3*9*27

morganfreeman:

	1
dlaczego		,skoro jest 2n ?
	27

jc: Tym bardziej dla n=2. (1+1/3)(1+1/9)(1+1/27)(1+1/81)>3/2 A potem będzie tylko gorzej.

jc: Gdzie jest 2ⁿ? Napisałeś 2n. Jak tak, to bardzo prosto, ale na przykładzie, aby za dużo nie pisać. 1 > 1−1/3⁸ = (1−1/3⁴)(1+1/3²)=(1−1/3²)(1+1/3²)(1+1/3²) =(1−1/3)(1+1/3)(1+1/3²)(1+1/3²)(1+1/3²) 1−1/3=2/3 Teraz wystarczy obie strony pomnożyć przez 3/2. Ścisły dowód to oczywista indukcja.

morganfreeman: no tak 2n napisałem jakiś dziś zaspany jestem,no ale jak z 2n dostać 27 w mianowniku? to jest 3³ przecież

Blee: jc napisał że już przy 3³ nierówność nie jest spełniona, a co dopiero później

morganfreeman: aaa już rozumiem,myślałem,że to trzeba jakoś ubrać w liczby i słowa przy rozwiązaniu czy coś Dziękuje Wam za pomoc

Mila: (1+1/3)*(1+1/3²)*(1+1/3³)*(1+1/3⁴)>(3/2)

jc: Tam na końcu miało być 1+1/3⁴, ale zadziałał efekt ctr−C ctr−V. Dowodzisz indukcyjnie, że (1−1/3)(1+1/3)(1+1/3²)...(1+3²ⁿ)=1−1/3²ⁿ⁺¹ Dalej (1−1/3)(1+1/3)(1+1/3²)...(1+3²ⁿ)=1−1/3²ⁿ⁺¹ < 1 (1+1/3)(1+1/3²)...(1+3²ⁿ) < 3/2

jc: I znów się źle napisał ostatni czynnik. Miało być (1+1/3²ⁿ).