Ciągłość abb: SIemka, pytanko odnośnie ciągłości czy istnieje takie twierdzene które mówi, że kazda funkcja ograniczona i ciagla jest jednostajnie ciagla byloby mi pitrzebe zeby to byla prawda jednak nie moge znaleźć czy takie coś zachodzi zawsze ?

jc: Nie. sin(1/x) na przedziale (0,1) jest ograniczona i ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym jest jednostajnie ciągła i jest ograniczona.

Blee: niestety − to nie jest prawda istnieją funkcje ciągłe i ograniczone, które nie są jednostajnie ciągłe, np. y = sin(1/x) dla x∊(−∞,0) nie jest jednostajnie ciągła jednak jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale DOMKNIĘTYM, to wtedy jest ciągła jednostajnie na tymże właśnie przedziale

Blee: jc −−− każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym będzie ograniczona

jc: Przecież to napisałem. Dodałem jeszcze słowo "przedział ograniczony". Potem pomyślałem, że przedziały [a,∞) choć są zbiorami domkniętymi nie nazywa się przedziałami domkniętymi. Dodam, że funkcja ciągła na przedziale domkniętym osiąga swoje kresy.