wyznacznik macierzy karcia: Hej, dopiero zaczynam z macierzami i mam podać wyznacznik poniższej macierzy, wiem, że można to jakoś sprytniej zrobić niż normalnie liczyć jednak nie wiem jak. Jakby mnie ktoś jakoś naprowadził byłabym wdzięczna. |1 2 3 4 5 | |6 7 8 9 10| |11 12 13 14 15| |16 17 18 19 20| |21 22 23 24 25|

WhiskeyTaster: Jeśli miałaś operacje kolumnowe i wierszowe, to dobrze, bo na tym oprę rozwiązanie: od kolumny 5 odejmujemy 4, a od kolumny 4 odejmujemy kolumnę 3. Wówczas widać, że dostajemy dwie takie same kolumny, a więc mamy dwa wektory liniowo zależne. Stąd wyznacznik jest równy 0.

Adamm: ten wyznacznik dla m≥3 (m − wymiar, tu m = 5; bierzemy oczywiste uogólnienie) jest równy 0 faktycznie, odejmijmy od drugiego i trzeciego wiersza, pierwszy wiersz w drugim wierszy dostajemy same wyrazy 'm', a w trzecim, same wyrazy '2m' jeden wiersz zależy od drugiego, więc wyznacznik = 0 dla m = 2 sprawa ma się inaczej, wyznacznik = −2

Adamm: sprawa ma się tak samo jeśli zamiast 1, 2, 3, ... wziąć dowolny ciąg arytmetyczny dla m = 2 mamy wtedy wyznacznik = −2r² gdzie r − różnica ciągu arytmetycznego co gdy wziąć ciąg geometryczny, lub postaci an²+bn+c ?

Adamm: W przypadku ciągu geometrycznego, łatwo widać że wyznacznik zeruje się dla m≥2. Dla ciągu a_n = n² i m≥4 mamy wyznacznik = 0. Myślę że ogólnie, dla ciągów postaci a_n = n^k, wyznacznik będzie zerował się od m≥k+2. A to jest ciekawe, mówi to nam o pewnego rodzaju 'stopniu niezależności' w ciągu.

jc: Jest tak, jak piszesz. Niech Δf(n)=f(n+1)−f(n). Jeśli f(n)=(n+m)^k, to Δ^k+2f(n)=0. Pewnie łatwo uzasadnić, że dla mniejszych macierzy wyznacznik ≠ 0.

jc: Nie jest łatwo.