Rozwiąż równanie. Michał99: Znając niektóre pierwiastki wielomianów rzeczywistych, znaleźć pozostałe: x⁴−2x³+7x²+6x−30=0 x₁=2+i wiem że jeśli pierwiastkiem wielomianu jest jakies x₁ to również modół z x₁ tez jest pierwiastkiem równania. czyli x₂=2−i Jednakże nie wiem jak znalezc pozostale pierwiastki, jak rozpisac to rwonanie albo cos z nim zrobic. Proszę o pomoc.

Blee: więc wiesz, że Twój wielomian dzieli się przez: (x − x₁)(x − x₂) = x² − 4x + 5 powyższy wielomian dzielisz przez ten tutaj wyznaczony otrzymasz wielomian kwadratowy −−− chyba sobie z nim poradzisz, prawda ?!

Eta: x⁴−2x³+7x²+6x−30=0 x⁴−2x³+10x²−3x²+6x−30=0 x²(x²−2x+10)−3(x²+2x+10)=0 (x²−3)(x²−2x+10)=0 ..................

Blee: No i wyszło szydło z worka przy okazji −−− x₁ NIE JEST pierwiastkiem tegoż wielomianu W(x₁) = W(2+i) = −8 + 36i

Eta: A no x₁= 1+3i , x₂= 1−3i

Mariusz: Dlatego według mnie dość łatwym i niezawodnym sposobem na rozkładanie wielomianów czwartego stopnia jest przedstawienie go najpierw w postaci różnicy kwadratów a później iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych Ten wielomian Η ładnie pogrupował(a) ale nie każdy wielomian czwartego stopnia da się tak pogrupować x⁴−2x³+7x²+6x−30=0 (x⁴−2x³)−(−7x²−6x+30)=0 (x⁴−2x³+x²)−(−6x²−6x+30)=0 (x²−x)²−(−6x²−6x−30)=0

	y		y2
(x2−x+		)2−((y−6)x2+(−y−6)x+		+30)=0
	2		4

	y2
4(		+30)(y−6)−(y+6)2=0
	4

(y²+120)(y−6)−(y+6)²=0 (y³−6y²+120y−720)−(y²+12y+36)=0 y³−7y²+108y−756=0 y²(y−7)+108(y−7)=0 (y−7)(y²+108)=0

	y		y2
(x2−x+		)2−((y−6)x2+(−y−6)x+		+30)=0
	2		4

	7		49
(x2−x+		)2−(x2−13x+		+30)=0
	2		4

	7		169
(x2−x+		)2−(x2−13x+		)=0
	2		4

	7		13
(x2−x+		)2−(x−		)2=0
	2		2

	7		13		7		13
((x2−x+		)−(x−		))((x2−x+		)−(x−		))=0
	2		2		2		2

(x²−2x+10)(x²−3)=0 Powyższy sposób pozwoli rozłożyć wielomian czwartego stopnia choć nie zawsze współczynniki tych trójmianów kwadratowych będą tak ładnie wyglądać Ja w tym równaniu w przeciwieństwie do Bleee nie założyłem że podana liczba jest pierwiastkiem i jeżeli miałbym mu coś podpowiedzieć to napisałbym aby zaczął od sprawdzenia czy naprawdę liczba x₁ jest pierwiastkiem Może to jest ich trick bo już kilka razy podawali "fałszywe pierwiastki" W pierwszej chwili nie zauważyłem rozwiązania Η ale i tak pomyślałem aby sprawdzić czy podana liczba jest pierwiastkiem

Mariusz: http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf Na początku musiałem się dobrze wczytać w tekst aby się dowiedzieć skąd się bierze każdy następny krok W metodzie Ferrariego Po przeniesieniu wyrazów z x² , x oraz wyrazu wolnego na prawą stronę równania trzeba dopełnić lewą stronę do kwadratu zupełnego używając wzorów skróconego mnożenia Teraz trzeba zauważyć że wyrażenie po prawej stronie jest trójmianem kwadratowym Trójmian kwadratowy będzie kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik będzie równy zero Gdybyśmy policzyli wyróżnik od razu to by mogło się tak zdarzyć że byłby on różny od zera Zatem musimy wprowadzić nową niewiadomą tak aby lewa strona nadal była kwadratem zupełnym (znowu korzystając z wzorów skróconego mnożenia) aby uzależnić wyróżnik od wprowadzonej niewiadomej Po przyrównaniu wyróżnika do zera dostajemy równanie trzeciego stopnia Za wprowadzoną niewiadomą trzeba przyjąć dowolny pierwiastek tego równania Na początku pokazywałem użytkownikom forum ten sposób razem ze sposobem na równanie trzeciego stopnia przy czym rozwiązanie tzw casus irreducibilis pokazywałem przy użyciu zespolonych Mieliśmy metodę algebraiczną ale za to więcej rzeczy trzeba było pokazać zanim przystąpimy do pokazania właściwej metody Zdolni użytkownicy jakoś sobie radzili nawet w gimnazjum Teraz tzw casus irreducibilis pokazuje z użyciem trygonometrii no chyba że ktoś miał już wcześniej wprowadzone liczby zespolone