Zbieżność ciągu Czytodobrze: Hej, czy zerknęlibyście na rozwiązanie zadania? Zbadaj zbieżność ciągów: a) a_n+1 = a²_n − a_n + 1 a₁∊R⁺ Ciąg jest monotoniczny i rosnący, ponieważ d.d.d. n a²_n > a_n. Ciąg jest rozbieżny do +∞, ponieważ dominuje składnik a²_n, który lim a²_n = +∞ b) a_n+1 = 2*a³_n − 6*a²_n + 5*a_n a₁∊[0, 2] 2*a³_n − 6*a²_n + 5*a_n = a_n(2*a²_n − 6*a_n + 5) a_n → ∞, natomiast na podstawie punktu a) składnik w nawiasie również → ∞, co oznacza, że ciąg jest rozbieżny do +∞

Bleee: a) błędna argumentacja a_n² +1 > a_n Bez tej jedynki bym już tak nie było (niech a_n < 1 i 'dupa')

	1
A po drugie − co z tego że jest rosnący? Ciąg cn = 1 −		także i jakoś nie jest
	n

rozbiezny.

Bleee: b) i co z powyższego wynika? Skąd wiesz że jest rozbiezny do +∞?

ABC: podpunkt a) jest źle, drugiego już mi się nie chciało sprawdzać

Bleee: b) po drugie, Niech a₁ = 0 wtedy a_n = 0 i masz ciąg staly

ABC: w punkcie a) dla a₁=1 też ma ciąg stały

WhiskeyTaster: Bleee, a₁ ∊ R₊. Ale mimo wszystko założenie a²_n > a_n jest błędne.

Czytodobrze: Czy mógłbym wówczas prosić o wskazówki dotyczące rozwiązania i wyjaśnienie? Podejrzewam, że podstawiam zamiast a_n od razu n itp. Blee − b) Istotnie, nie wiem a) Czy w założeniu nie podano, że a₁ należy do R⁺, tak jak Whiskey wskazał Pod wpływem Waszych komentarzy nie wiem nawet, jak zacząć myśleć o tym zadaniu.

Blee: ABC −−− w a) dla a₁ = 1 masz a_n = n

Blee: WhiskeyTaster −−−− ja nie mówię że błędną odpowiedź udzielił ... tylko że argumentacja była błędna

Blee: a) a₁ ∊ R⁺ ... no to niech a₁ = 0.0000001 a₁² < a₁ <−−−− argumentacja 'z dupy'

Czytodobrze: Dobrze, Blee, rozumiem. Czy mógłbyś pomóc mi wyjść ,,z dupy" i udzielił wskazówki odnośnie rozwiązania?

ABC: w a) masz a₂=a₁²−a₁+1 , dla a₁=1 a₂=1−1+1=1 a w ogóle od rekurencji na tym forum jest Mariusz, przyjdzie i zrobi trzeba poczekać

Blee: będzie trudno −−− głęboko wlazłem a) I. niech a₁ ≥ 1 wtedy a₂ ≥ 1 + 1 = 2 a_n ≥ n (udowodnić indukcyjnie można to 'rachu ciachu') więc rozbieżny do +∞

Blee: ajjj ... źle spojrzałem ... faktycznie −−− dla a₁ > 1 będzie rozbieżny dla a₁ = 1 masz stały a dla a₁ ∊ (0,1) musisz 'popatrzeć'

Blee: i zauważyć, że wtedy a_n+1 < 1 dla każdego a_n ∊(0,1) więc na pewno nie będzie rozbieżny (podpowiem, że będzie zbieżny do 1)

Czytodobrze: Dziękuję za odpowiedzi. Sprawdzam dla przedziału (0, 1): a) a₁ = ¹₂ a₂ = ¹₂ ! Stały → Jak interpretować? a₁ = ¹₃ a₂ = ⁷₉ a₃ = ⁷⁴₈₁ a₁<a₂<a₃ Ciąg zbieżny do 1 b) a₁ = 0 a₂ = 5 a₃ = 50 a₁ = 1 a₂ = 1 Stały a₁ = 2 a₂ = −6 Nie wiem, co myśleć o b? Proszę o pomoc.

Czytodobrze: ?

Czytodobrze: Hej, poprawiłem trochę. Czy ostateczna odpowiedź to: a)

	⎧	1 dla a1∊(0,1)
lim an =	⎨	1 dla a1 = 1
	⎩	+∞ dla a1>1

dla n→+∞ b) lim a_n = −∞ dla a₁ = 0 a_n+1 = 5 dla a₁ = 1 a_n+1 = 1 dla a₁ = ³₂ a_n+1 = ³₄ dla a₁ = 2 a_n+1 = −6

jc: f(a)=a²−a+1 = (a−1)² + a ≥ a, a więc ciąg jest niemalejący. Jeśli a > 1, to ciąg jest rozbieżny (granicą może być tylko 1. Jeśli a < −1, to f(a) > 1 i ciąg również jest rozbieżny. Jeśli 0≤a≤1, to f(a)≤1 i ciąg ma granicę bo jest niemalejący i ograniczony. Granicą jest 1.

jc: Pisałem a, ale chodziło o a₁. Pierwszy ciąg jest zbieżny (do liczby 1) ⇔ a₁ ∊ [0, 1].

Blee: ja bym proponował inne podejście a) a_n+1 = a_n² − a_n +1 I. jeżeli a_n > 1 to a_n² > a_n ... więc a_n+1 > a_n + 1 > 1 wniosek −−−− lim a_n = +∞ II. jeżeli a_n = 1 to a_n+1 = 1 −> ciąg stały (od 'n' dla którego a_n = 1) III. jeżeli a_n ∊(0,1) to a_n² < a_n ... więc a_n+1 = a_n² − a_n + 1 < 1 więc, jeżeli kiedykolwiek a_n < 1 to już nigdy a_n+k ≥ 1 (dla dowolnego k∊N) //podajemy szacowanie z góry: ta uwaga w połączeniu z (I) oznacza, że: jeżeli a₁ > 1 to a_n > 1 (dla dowolnego n) jeżeli a₁ < 1 to a_n < 1 (dla dowolnego n) więc gdy a₁<1 to su√a_n ≤ 1 //wykazujemy istnienie granicy: rozpatrujemy tylko sytuację, gdzie a₁ ∊(0,1) f(a) = a² − a + 1 f'(a) = 2a − 1 −> f'(a) = 0 ⇔ a = 1/2 i mamy tu minimum lokalne f(1/2) = 3/4 czyli: dla dowolnego a_n ∊ (0,1) ; a_n+1 ≥ 0.75 −> a_n+2 ≥ 0,8125 −> a_n+3 > a_n+2 (bo funkcja jest rosnąca na tym przedziale) wniosek −−− ciąg a_n jest rosnący (dla a_n ∊ (0,1)) i ograniczony z góry przez '1', więc będzie zbieżny jako, że a₁ ∊ (0,1) i mamy ciąg ciąg rosnący to lim a_n = 1

Blee: ad a) albo jeszcze prościej: f(a) = a² − a + 1 zakładamy istnienie granicy i wykażemy, że będzie to g = 1 g = g² − g + 1 −> g² − 2g + 1 = 0 −> (g−1)² = 0 −> g = 1

Blee: b) analogicznie I a₁ = 0 a₂ = 0 −> a_n = 0 −> ciąg stały, zbieżny II a₁ = 2 a₂ = 2⁴ − 6*2² + 5*2 = 2 −> a_n = 2 −> ciąg stały, zbieżny III a₁ ∊ (0,2) \ {1} a_n+1 = 2a_n³ − 6a_n² + 5a_n f(a) = 2a³ − 6a² + 5a f'(a) = 6a² − 12a + 5

	√6		√6
f'(a) = 0 −> a = 1 −		; a = 1 +
	6		6

tym razem mamy (odpowiednio) maksimum i minimum lokalne

	√6		√6		√6
f(1 −		) = 1 +		< 1 +
	6		9		6

	√6		√6		√6
f(1 +		) = 1 −		> 1 −
	6		9		6

	√6		√6
więc dla dowolnego an ∊ (0,2) −> an+1 ∊ ( 1 −		; 1 +		) i już z
	6		6

niego 'nie wypadnie'

	√6		√6
czyli tenże ciąg jest ograniczony z góry i z dołu przez 1 −		oraz 1 +
	9		9

niestety nie jest to ciąg monotoniczny ... ale będzie zbieżny (sprawdzamy) g = 2g³ − 6g² + 5g 2g³ − 6g² + 4g = 0 g(g−1)(g−2) = 0 czyli mamy mamy trzy możliwe granice:

	√6		√6
g = 0 <−−− odpada, bo wiemy, że an+1 ∊ (1 −		, 1 +		)
	9		9

g = 1

	√6		√6
g = 2 <−−− odpada, bo wiemy, że an+1 ∊ (1 −		, 1 +		)
	9		9

czyli dla a₁ ∊ (0,2) \ {1} ciąg jest zbieżny (ale nie jest monotoniczny) do g = 1 IV a₁ = 1 (to wszyło 'w praniu' ) a₂ = 2 − 6 + 5 = 1 −> a_n = 1 −> ciąg stały, zbieżny

Blee: PS .... okey −−−−− z tym g = 2g³ − 6g² + 5g więc lim a_n = g = 1 to się trochę pośpieszyłem (to wystarczy gdyby ciąg był monotoniczny, ale nie jest) tutaj pojawia się pytanie −−− jak bardzo chcemy się 'bawić w udowadnianie' (jaki to jest kierunek studiów) możesz np. podejść do tego jak zrobiłem w poprzednim podpunkcie i wykazać, że a_{n + 2j} > a_n+2 > a_n lub a_{n + 2j} < a_n+2 < a_n (w zależności od 'punktu startowego a₁' oraz tego czy n jest parzyste czy nieparzyste) czyli wykazać, że podciągi ciągu a_n będą monotoniczne ... a monotoniczny + ograniczony = zbieżny więc podciągi zbieżne ... to muszą być zbieżne do g = 1 ... więc są zbieżne do tej samej granicy ... więc ciąg a_n jest zbieżny go g = 1 (to tak w mocnym skrócie napisałem sposób wnioskowania)