Okres podstawowy 5-latek: Wyznaczyc okres podstawowy funkcji

	x		1
a) y=cos		= cos
	2		x

	1
b) y=tg		x
	3

	π
c) y=sin(x+		)
	2

tutaj rozumiem ze mozna skorzystac ze wzorow redukcyjnycj i napisac

	π
y=sin(		+x)= cosx i tutaj okres podstawowy to T=2π
	2

d) y=|sinx|

	3
e) y=1+2sin		x
	2

	π
f) y=1−3 sin(3x−		)
	4

Jak to obliczyc ? Tylko spokojnie , po kolei, bez nerwow .

5-latek:

	1
a) y=cos		x oczywiscie .
	2

6latek: Ponawiam prosbe zwlaszcza do przykladu f

Maciess: a) T=4π b)T=3π c) T=2π d) T=2π e) T=4/3*π f) T=2/3*π

6latek: W duszy ma takie pisanie Nic mi to nie dalo

6latek: Wybacz kolego ale to ja mam tak napisane w odpowiedzi

Maciess: Próbowałeś rysować wykresy takich funkcji? Chwila zabawy i dowiadujesz co się dzieje z okresem podstawowym A raczej odkrywasz zasade

Adamm: Pomocne twierdzenie. Twierdzenie. Jeśli f(x) ma okres T, a>0, to f(ax) ma okres T/a. Dodatkowo, jeśli T jest okresem podstawowym, to T/a jest okresem podstawowym. Dowód. Jeśli T jest okresem dla f(x), to f(a(x+T/a)) = f(ax+T) = f(ax), więc T/a jest okresem dla f(ax). Załóżmy, że T jest podstawowy dla f(x). Wtedy gdyby T/a nie był podstawowy dla f(ax), to istniałby okres R>0, R<T/a dla f(ax). Wtedy f(ax) = f(a(x+R)) = f(ax+aR), więc aR byłby okresem dla f(x). Ale to niemożliwe, aR<T a T był podstawowy.

Maciess: Ale moze taki sposób do ciebie przemówi mamy funkcje sin(x) jeśli do argumentu dodam okres podstawowy to nie zmieni się wartość czyli sin(x)=sin(x+2π) no to teraz sin(4x+2π)=sin(4(x+π/2)) czyli musze dodac π/2 żeby wartość nie zmieniła sie. Czyli to nasz szukana okres podstawowy.

6latek: Nie probowalem rysowac .

	2π
Adamm zobaczylem na innej stronie i wiem ze okresem podstawowym funkcji sinax jest T=
	a

ja potrzebuje obliczen a tych jak na razie nie dostalem

Adamm: no, to żaden dowód że on jest podstawowy, po prostu pokazałeś że jest pewnym okresem to że jest podstawowy powinno być dosyć widoczne, bo jak można inaczej znaleźć okres podstawowy ale jeśli chce się uprawiać matematykę, to nie można się bać twierdzeń

Adamm: @6latek nie potrzebujesz obliczeń, powołaj się na fakt że sinus jest okresowy z okresem podstawowym 2π

6latek: tylko przyklad f mnie intersuje na razie

Mila: 1) f(x)= cos(x) ma okres zasadniczy T=2π g(x)=1+cosx ma okres T=2π bo translacja nie zmienia okresu p(x)=1−3cosx ma okres T=2π bo masz wydłużenie wykresu, symetrię względem oX, przesunięcie wykresu o 1 jednostkę w górę. s(x) =cos(3x) , T=2π− okres f(x)=cosx

	2π
Ts=
	3

ogólnie : f(x) =sin(ax), g(x)=cos(ax)

	2π
T=		, a≠0
	a

Tak wyjdzie jeżeli obliczysz okres z definicji: f(x)=f(x+T) ================

	π
f) f(x)=1−3cos(3x−		) ,
	4

	π
(−		przesuniecie wykresu w prawo, nie zmienia okresu)
	4

	2π
T=
	3

Adamm: Twierdzenie. Jeśli f(x) ma okres T, to a, b≠0 są dane, to a+bf(x) też ma okres T. Jeśli T jest podstawowy dla f(x), to jest podstawowy dla a+bf(x). Dowód. a+bf(x+T) = a+bf(x) więc T jest okresem dla a+bf(x) Załóżmy że T jest okresem podstawowym dla f(x). Wtedy jest okresem dla a+bf(x). Gdyby istniał okres T>R>0 dla a+bf(x), to ponieważ tak samo jak a+bf(x) jest złożeniem funkcji liniowej a+bx i f(x), tak samo f(x) jest złożeniem pewnej funkcji liniowej i a+bf(x), więc z tego co pokazaliśmy wcześniej mamy że R jest okresem dla f(x). Ale T byłby podstawowy, więc nie może istnieć taki okres, sprzeczność dowodzi że T jest okresem podstawowym dla a+bf(x).

Adamm: Ale T jest podstawowy dla f(x).

Adamm: Równie proste twierdzenie, które jest tak dosyć oczywiste, ale zapiszę je. Twierdzenie. Jeśli T jest okresem dla f(x), to również dla f(x+a). Jeśli T jest podstawowy dla f(x), to i dla f(x+a). Dowód. Jeśli T jest okresem dla f(x), to f((x+T)+a) =f((x+a)+T) = f(x+a). Załóżmy że T jest podstawowy dla f(x). Jeśli 0<R<T byłby okresem dla f(x+a), to byłby okresem dla f(x+a−a) = f(x). A to niemożliwe bo T jest podstawowy.

6latek: Witam i dziekuje bardzo zaraz przepisuje do zeszytu Adamm rowniez bardzo dziekuje

Adamm: No i teraz używając tych 3 twierdzeń, od razu mamy większość przykładów rozwiązanych, jeśli tylko wiemy że 2π są okresami podstawowymi dla sinusa/cosinusa a π dla tangesa/cotangesa. Jedyny przykład sprawiający pewne problemy to przykład d) |sin(x)| jest okresowa z okresem π, bo |sin(x+π)| = |−sin(x)| = |sin(x)| Trzeba pokazać że to okres podstawowy. Gdyby 0<R<π był okresem, to 0 = |sin(R)|, ale |sin(R)|>0, sprzeczność.

6latek: na dzisiaj mi wystarczy .

6latek: Jeszcze jedno pytanie Nikt nie powiedzial ze musi byc tak prosto mamy taka funkcje

	π		1
y=2+5sin(5x+		+tg		x
	2		3

Okresem pierwszej funkcji jest

	2
T=		π
	5

Okresem drugiej funkcji jest T=3π Jaki bedzie okres podstawowy takiej funkcji ?

6latek:

a@b: 6π

6latek: OK. Tylko ze Ty to wiesz dlaczego tak a ja dalej nie wiem

Mila: 6π

Mila: Wypisz wielokrotności okresów dla I i drugiej funkcji.

6latek: (0,4), (0,8) (1,2) (1,6) 3 (6) (9) (12)

Adamm: Twierdzenie. Jeśli f(x) ma okres k₁*T, a g(x) ma okres k₂*T, gdzie k₁, k₂ to liczby całkowite, to f(x)+g(x) ma okres NWW(k₁, k₂)*T. Dowód. Oznaczmy l = NWW(k₁, k₂). Wtedy l = k₁*m₁ = k₂*m₂ dla pewnych m₁, m₂ całkowitych (ponieważ l jest wspólną wielokrotnością k₁ i k₂). Ale całkowita krotność okresu, też jest okresem. Zatem f(x+l*T) = f(x+m₁*k₁*T) = f(x) oraz g(x+l*T) = g(x+m₂*k₂*T) = g(x). Stąd f(x)+g(x) ma okres l*T.

a@b:

	2π		2π		2π
dla pierwszej :		,		*2,.......,		*15 =6π,
	5		5		5

dla drugiej : 3π, 6π

Adamm: To co Mila i a@b stosują to właśnie to twierdzenie. Pokazać formalnie że 6π jest okresem podstawowym byłoby dosyć trudne, więc polecam sobie odpuścić.

6latek: dziekuje za wytlumaczenie

6latek: Jutro Milu biore sie za wyprowadzanie wzorow redukcyjnych

Mila: Dobranoc

6latek: dobranoc