Badanie zbieżnośc ciągu i granica Registerr: W jaki sposób zbadać zbieżność takiego ciągu? https://i.imgur.com/ECQ4AD2l.jpg

Adamm: Hm. A jak ten ciąg wygląda?

Bleee: k to stała?

Registerr: Przepraszam, zapomniałam dopisać, k jest liczbą naturalną

Bleee: c_n = n( (1 + 1/n)^1/k − 1)

	r k
Korzystamy z ogólnego wzoru na (x+y)r = ∑k		xkyr−k

Podstawiamy:

	1/k i
cn = n(		∑ (1/n)i − 1)

Zauwaz ze ta suma będzie miała wyrazy:

	1/k 1	1		1/k 2	1
1 +			+			+...
		n			n2

Wiec wszystko począwszy od i=2 nawet po przenoszeniu przez n będzie zbiegac do zera Wiec wynikiem będzie lim c_n = 1/k Przy okazji zapoznaj się z rozpisywaniemvdwumianu Newtona dla ulamkow.

jc: A może bardziej klasycznie? p=(1+1/n)^1/k →1 przy n→∞

	pk−1
p−1=
	pk−1+pk−2+...+p+1

	1		1
cn =		→		przy n→∞
	pk−1+pk−2+...+p+1		k

jc: Bleee, to po prostu f'(0) dla f(x)=(1+x)^1/k, jeśli już używamy poważniejszej analizy.

Registerr: https://imgur.com/a/NXjmVnU A nie mogę tego przekształcić do tej postaci i dalej czegoś z tym zrobić?

jc: Do jakiej postaci? Na cytowanej stronie nic nie znalazłem.

Registerr: https://imgur.com/SAPf1Ja Coś źle się dodało, teraz już widać

Adamm: Nigdy nie przechodzimy z granicą w granicy − to niedozwolone! Uważaj, bo cię złapie straż graniczna!