ciagi i granice aj: Zapisz w najprostszej postaci a_n = 1² + 2² + 3² + ... + n².

ABC:

n(n+1)(2n+1)
6

aj: Skąd ten wzór?

ABC: wyprowadzałem go wiele razy to pamiętam

aj: A może chociaż jakaś podpowiedź, z czego skorzystać, by go wyprowadzić?

Adamm:

	k 2		k 1
k2 = 2		+

	k 2		k 1		n+1 3		n+1 2
an = ∑k=1n [2		+		] = 2		+

ABC: sposobów jest wiele, było o tym niedawno na forum, można sumą teleskopową czy też zaburzaniem sum, można od strony wielomianów interpolacyjnych, a można funkcji zespolonych nawet użyć

Adamm: no, ABC a ten sposób widziałeś? moim zdaniem najlepszy

ABC: no technicznie to elegancki jest

jc: To też wzór teleskopowy:

n 1		n 2		n−1 2
	=		−

n 2		n 3		n−1 3
	=		−

Mila: Wykorzystujemy sumę :∑(k=1do n)k³ 1) S_n=∑ ⁿ_k=1(k³) 2) S_n+1=S_n+(n+1)³ lub S_n+1=1+∑ _k=2ⁿ⁺¹(k³)=1+∑ _k=1ⁿ(k+1)³ 1+∑ _k=1ⁿ(k+1)³)=S_n+(n+1)³⇔ 1+∑ _k=1ⁿ(k³+3k²+3k+1)=S_n+n³+3n²+3n+1⇔ S_n+3*∑ _k=1ⁿ(k²)+3*∑ _k=1ⁿ(k) +n=S_n+n³+3n²+3n

	n*(n+1)
3*∑ k=1n(k2)+3*		=n3+3n2+2n
	2

	3n2+3n
3*∑ k=1n(k2)=n3+3n2+2n−
	2

	2n3+3n2+n
3*∑ k=1n(k2)=
	2

	n*(n+1)*(2n+1)
∑ k=1n(k2)=
	6

==========================

Mariusz: Na ważniaku mają , proponują tam między innymi rachunek różnicowy Ja proponowałbym zapisać sumę w postaci równania rekurencyjnego i rozwiązać je np funkcją tworzącą a₀=0 a_n=a_n−1+n² Teraz możemy to równanie sprowadzić do jednorodnego zwiększając jego rząd a₀=0 a_n=a_n−1+n² a_n=a_n−1+n² a_n−1=a_n−2+(n−1)² a_n−a_n−1=a_n−1−a_n−2+n²−(n²−2n+1) a_n=2a_n−1−a_n−2+2n−1 a_n−1=2a_n−2−a_n−3+2(n−1)−1 a_n−a_n−1=2a_n−1−a_n−2−2a_n−2+a_n−3+2n−1−(2n−3) a_n=3a_n−1−3a_n−2+a_n−3+2 a_n−1=3a_n−2−3a_n−3+a_n−4+2 a_n−a_n−1=3a_n−1−3a_n−2+a_n−3−3a_n−2+3a_n−3−a_n−4 a₀=0 a₁=1 a₂=5 a₃=14 a_n=4a_n−1−6a_n−2+4a_n−3−a_n−4 A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=4^∞a_nxⁿ=∑_n=4^∞4a_n−1xⁿ+∑_n=4^∞−6a_n−2xⁿ+ ∑_n=4^∞4a_n−3xⁿ+∑_n=4^∞−a_n−4xⁿ ∑_n=4^∞a_nxⁿ=4x(∑_n=4^∞a_n−1xⁿ⁻¹)−6x²(∑_n=4^∞a_n−2xⁿ⁻²) +4x³(∑_n=4^∞a_n−3xⁿ⁻³)−x⁴(∑_n=4^∞a_n−4xⁿ⁻⁴) ∑_n=4^∞a_nxⁿ=4x(∑_n=3^∞a_nxⁿ)−6x²(∑_n=2^∞a_nxⁿ) +4x³(∑_n=1^∞a_nxⁿ)−x⁴(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−0−x−5x²−14x³=4x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−0−x−5x²) −6x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ−0−x)+4x³(∑_n=0^∞a_nxⁿ−0)−x⁴(∑_n=0^∞a_nxⁿ) A(x)−x−5x²−14x³=4x(A(x)−x−5x²)−6x²(A(x)−x)+4x³A(x)−x⁴A(x) A(x)(1−4x+6x²−4x³+x⁴)=x+5x²+14x³−4x²−20x³+6x³ A(x)(1−4x+6x²−4x³+x⁴)=x²+x

	x2+x
A(x)=
	(1−x)4

(1−x)²=1−2x+x² (1−x)²−3(1−x)=−2+x+x² (1−x)²−3(1−x)+2=x²+x

	1		3		2
A(x)=		−		+
	(1−x)2		(1−x)3		(1−x)4

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

d		d		1
	(∑n=0∞(n+1)xn)=		(		)
dx		dx		(1−x)2

	−2
∑n=0∞(n+1)nxn−1=		(−1)
	(1−x)3

	2
∑n=1∞(n+1)nxn−1=
	(1−x)3

	2
∑n=0∞(n+2)(n+1)xn=
	(1−x)3

	2
∑n=0∞(n+2)(n+1)xn=
	(1−x)3

d		d		2
	(∑n=0∞(n+2)(n+1)xn)=		(		)
dx		dx		(1−x)3

	−3
∑n=0∞(n+2)(n+1)nxn−1=2		(−1)
	(1−x)4

	3
∑n=1∞(n+2)(n+1)nxn−1=2
	(1−x)4

	6
∑n=0∞(n+3)(n+2)(n+1)xn=
	(1−x)4

	1		3		2
A(x)=		−		+
	(1−x)2		(1−x)3		(1−x)4

	3
A(x)=∑n=0∞(n+1)xn+∑n=0∞−		(n+2)(n+1)xn+
	2

	1
∑n=0∞		(n+3)(n+2)(n+1)xn
	3

	3		1
A(x)=∑n=0∞((n+1)−		(n+2)(n+1)+		(n+3)(n+2)(n+1))xn
	2		3

	3		1
an=(n+1)−		(n+2)(n+1)+		(n+3)(n+2)(n+1)
	2		3

	3		1
an=(n+1)(1−		(n+2)+		(n+3)(n+2))
	2		3

	3		1
an=(n+1)((1−		n−3+		(n2+5n+6))
	2		3

	1		1
an=(n+1)(		n2+		n+1−3+2)
	3		6

	1		1
an=(n+1)n(		n+		)
	3		6

	1
an=		(2n+1)(n+1)n
	6