Granica ciągu rekurencyjnego Mariuss: Jak udowodnić że ciąg rekurencyjny gdzie a₁=3 a_n+1=1/2(a_n + 5/a_n) Posiada granicę?

ABC: ciąg malejący i ograniczony z dołu

jc:

	(an−√5)2
an+1−√5 =
	2an

Dla każdego n prawa strona jest dodatnia, co oznacza, że a_n > √5 > 2 (również a₁).

	(an−√5)2
an+1 − √5 <
	4

a₁−√5 < 1, a₂−√5 < 4⁻¹, a₃−√5 < 4⁻³, a₄−√5 < 4⁻⁷ i ogólnie a_n −√5 < 4²ⁿ⁻¹⁻¹ czyli a_n →√5