zbieźność ciągu rekurencyjnego matlamp: Pokaż, że ciąg rekurencyjny: a₁ = ¹₄, a_n+1 = ¹₄ + ¹₂a_n jest zbieżny i oblicz jego granice. Wiem, że trzeba wykazac, że jest monotoniczny i ograniczony, ale nie wiem jak zabierać się do takich zadań, skąd brać ograniczenia i wgl. Barddzo prosiłbym o wytłumaczenie rozwiązania.

matlamp: ***** a_n+1 = ¹₄ + ¹₂a_n²

Mariusz: a₀=0

	1		1
an+1=		an+
	2		4

A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ

	1		1
∑n=0∞an+1xn+1=∑n=0∞		anxn+1+∑n=0∞		xn+1
	2		4

	1		1	x
∑n=0∞an+1xn+1=		x(∑n=0∞anxn)+
	2		4	1−x

	1		1	x
∑n=0∞anxn−0=		x(∑n=0∞anxn)+
	2		4	1−x

	1		1	x
A(x)(1−		x)=
	2		4	1−x

	1	x
A(x)=
	4	1   (1−x)(1− x)   2

	1
2(1−		x)−2(1−x)=2−x−2+2x=x
	2

	1	1   (1− x)−(1−x)   2
A(x)=
	2	1   (1−x)(1− x)   2

	1	1		1	1
A(x)=			−
	2	1−x		2	1   1− x   2

	1		1		1
A(x)=		∑n=0∞xn−		∑n=0∞(		)nxn
	2		2		2

	1		1
an=		(1−(		)n)
	2		2

Mariusz: To było dla tego pierwszego ciągu

	1
Tutaj dobrym ograniczeniem powinno być
	2

a co do monotoniczności to jaki znak ma różnica a_n+1 − a_n

xyz:

	1		1
a1 =		= (		)2
	4		2

	1		1		1		1		1		1
a2 =		* (		)2 +		=		* (		)4 + (		)2 =
	2		4		4		2		2		2

	1		1
= (		)5 + (		)2
	2		2

	1		1		1		1
a3 =		* ((		)5 + (		)2 ) + (		)2 =
	2		2		2		2

	1		1		1
= (		)6 + (		)3 + (		)2
	2		2		2

	1		1		1		1		1
a4 = (		) * ( (		)6 + (		)3 + (		)2) + (		)2 =
	2		2		2		2		2

	1		1		1		1
= (		)7 + (		)4 + (		)3 + (		)2
	2		2		2		2

...

	1		1		1		1		1
an = (		)n+3 + (		)n + (		)n−1 + ... + (		)3 + (		)2
	2		2		2		2		2

	1		1		1		1
Fragment: (		)n + (		)n−1 + ... + (		)3 + (		)2
	2		2		2		2

oczywiscie mozna zapisac:

	1		1		1		1
(		)2 + (		)3 + ... + (		)n−1 + (		)n
	2		2		2		2

zatem suma geometr.

	1
a1 = (		)2
	2

	1
q =
	2

	1		1   1−( )n−1   2
Suma = (		)2 *		=
	2		1   1−   2

	1		1   1−( )n−1   2		1		1
= (		)2 *		=		( 1−(		)n−1 ) =
	2		1   2		2		2

	1		1
=		−(		)n
	2		2

Dlaczego n−1 w potedze? bo sumujemy n−1 elementow a nie "n" elementow. (od 2 do n jest n−1 elementow) stad

	1		1		1
an = (		)n+3 +		−(		)n dla n >= 2
	2		2		2

	1		1		1
an = (		)n+3 − (		)n +		dla n >= 2
	2		2		2

xyz: a więc dla n → ∞:

	1
(		)n+3 → 0
	2

	1
(		)n → 0
	2

	1
wiec zostaje
	2

jc: Równoważnie.

	an −1/2
an+1 − 1/2 =
	2

W każdym kroku odległość od 1/2 zmniejsza się dwukrotnie. Wniosek: granica = 1/2.

	a1−1/2
Można też napisać tak: an−1/2 =		,
	2n−1

	1		1		a1
czyli an=		−		+
	2		2n		2n−1

i też widać, że granicą jest 1/2.

matlamp: czy licząc granice nie można skorzystać z tego, że a_n+1 → q i a_n → q?

matlamp: i rozwiązac równanie q = ¹₄ + ¹₂q²