liczby_zespolone liczby_zespolone:

	n k
Korzystając ze wzoru (cosx + i sinx)n = ∑ (od k=0 do n)		cosn−k (i sin x)k = cos nx

przedstaw cos4x oraz sin 4x za pomocą cosx oraz sin x. Prawidłowa odpowiedź to: cos4x = cos⁴x − 6cos²x sin²x + sin⁴x sin4x = 4cos³x sinx − 4cosx sin³x. Mogę prosić o pomoc? Nie wiem, od czego zacząć. Wszelkie wskazówki mile widziane.

Adamm: (cosx+isinx)⁴ = ... i bierzesz część rzeczywistą odpowiednio zespoloną

liczby_zespolone: Chyba nie rozumiem, mogę prosić o jakiś dalszy krok? Dopiero zaczynam liczby zespolone

Adamm: (cosx+isinx)⁴ − oblicz

Mila: 1) (cosx+isinx)⁴=cos(4x)+i sin(4x) z wzoru de Moivre'a

	4 1		4 2
2) (cosx+i sinx)4=cosx4+		*cos3x*(isinx)1+		*cos2x*(isinx)2+

	4 3
+		*cos1x*(isinx)3+(isinx)4=

=cos⁴x+4*cos³x*sinx *i−6cos²x*sin²x−4cosx*sin³x*i+sin⁴x Porządkujemy: ((cosx+i sinx)⁴=(sin⁴x+cos⁴x−6cos²x*sin²x)+i*(4cos³x*sinx−4cosx*sin³x) porównanie : cos(4x)+i sin(4x)=(sin⁴x+cos⁴x−6cos²x*sin²x)+i*(4cos³x*sinx−4cosx*sin³x) ============================================================

liczby_zespolone: Ojej, dziękuję, już rozumiem! Postępując analogicznie, chcę zrobić inny przykład: cos5x i sin5x. Myślę, że jestem już w stanie. Wychodzi mi cos5x=cos⁵x−10cos³x sin²x + 5cosx sin⁴x oraz sin5x = 5cos⁴x sinx − 10cos²x sin³x + sin⁵x. Wynik mi się zgadza, tylko pozostaje dalsza część zadania. Na podstawie otrzymanych zależności

	π		π
mam obliczyć wartość cos		i sin		. Mogę prosić o jakąś wskazówkę, jak się za to
	5		5

zabrać?

Mariusz: Przepisz wyrażenie odpowiadające wartości cos(5x) tak aby nie zawierało sinusów a wyrażenie odpowiadające wartości sin(5x) nie zawierało cosinusów Dostaniesz wtedy równania z których będziesz mógł wyliczyć wartości

	π
Przydatna będzie jedynka trygonometryczna oraz to że		leży w pierwszej ćwiartce
	5

liczby_zespolone: Uh, cos5x mam jako 20cos⁵x−20cos³x+5cosx. Ktoś wie, czy to jest dobrze jak na razie?

Mariusz: Na pewno nie pomyliłeś się przy przepisywaniu ?

liczby_zespolone: Tak mi wyszło po zamianie ze wzoru na podwójny sinus

Mariusz: Jaki podwójny sinus ? Miałeś przepisać już znalezione wyrażenie cos⁵x−10cos³x sin²x + 5cosx sin⁴x tylko za pomocą cosinusa korzystając z jedynki trygonometrycznej a może chodziło ci o czynnik sin⁴x który może być zapisany jako (sin²x)² a następnie (1−cos²x)² Spróbuj jeszcze raz skup się na współczynniku przy cos⁵x bo pozostałe współczynniki są dobre

liczby_zespolone: Jednak wyszło mi cos5x=6cos⁵x−10cos³x+5cosx. Co z tym teraz mam zrobić?

liczby_zespolone: = cos⁵x − 10cos³ 10 cos⁵x + 5cosx − 5 cos⁵x = 6 cos^x − 10 cos³x + 5 cos x

liczby_zespolone: Głupi błąd... jednak 16cos⁵x − 20cos³x + 5cosx

Mariusz: No to policzmy te współczynniki razem cos⁵x : 1−10(−1)+5(1)=16 cos³x :0−10+5(−2)=−20 cosx : 0−10(0)+5(1)=5

liczby_zespolone: Tak, tak, dziękuję, już mi tak wyszło! Tylko nie wiem, co dalej teraz z tym zrobić

Mariusz: Wynik z 1 lis 2019 18:47 wyszedł ci dobry Teraz twoim 5x jest π i więc po prawej stronie równości będziesz miał wartość cos(π)

liczby_zespolone: Dlaczego 5x to π?

liczby_zespolone: Aaaa, już rozumiem

Mariusz: Jak już napiszesz swoje równanie to proponuję zgaduj zgadulę czyli szukanie wymiernych pierwiastków aby obniżyć stopień równania

liczby_zespolone: Przecież to jakiś dramat

liczby_zespolone: Niby działa dla cosx=−1

liczby_zespolone: Czy dla tego dziwnego czegoś działa Horner? Współczynniki mi wyszły po podzieleniu: −16, −4, 4, 1, 0, ale w tym przypadku to nawet nie wiem, jak to zapisać.

Mariusz: No to wyciągnij czynnik cosx + 1 przed nawias ale jeszcze sprawdzę 16 0 −20 0 5 1 −1 16 −16 −4 4 1 0 zatem twoje równanie wygląda następująco (cosx + 1)(16cos⁴x − 16cos³x − 4cos²x + 4cosx + 1)=0 Musisz dalej rozkładać Pamiętasz co napisałem ci o pierwszej ćwiartce ? Odgadnięte rozwiązanie musisz odrzucić Dlaczego je dostałeś ? Zapewne wiesz że cosx jest okresowy więc cos5x=cos(5x+4π) a skoro 5x = π to cos5x = cos(5π) 16cos⁴x − 16cos³x − 4cos²x + 4cosx + 1=0 Rozwiązywanie tego równania zacznij od podstawienia które wyzeruje współczynnik przy cos³x

liczby_zespolone: DZIAŁA! DZIĘKUJĘ BARDZO!

Mariusz: Tak cosx+1 można traktować jak dwumian więc schemat Hornera działa Już korzystałeś z dwumianu Newtona i to nawet dla n = 4 (a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4a³b+b⁴ 16(a+b)⁴=16a⁴+64a³b+96a²b²+64a³b+16b⁴ Jeżeli przyjmiemy że a=cosx to b możemy wyznaczyć w następujący sposób 64cos³xb−16cos³x=0 64b−16=0

	1
b=
	4

Zatem podstawienie którego mógłbyś użyć to

	1
y=cosx+
	4

Po tym podstawieniu równanie znacznie się uprości

liczby_zespolone: Jeszcze raz wielkie dzięki za pomoc! Mam jeszcze jedno pytanie. Czy ten wzór, który jest na samej górze w treści zadania (z symbolem ∑) ma jakąś swoją nazwę? Chcę doczytać kilka rzeczy na ten temat, a nie mam pojęcia, co wpisać w wyszukiwarkę.

Mila:

	π		π		π
x=		,		<
	5		5		4

5x=π

	π		π		π
sin(π)=16sin5		−20sin3		+5sin
	5		5		5

	π		π		π
16sin5		−20sin3		+5sin		=0
	5		5		5

	π
sin		=t, t>0
	5

t*(16t⁴−20t²+5)=0⇔ (16t⁴−20t²+5)=0 Δ=80

	20−4√5		20+4√5
t2=		lub t2=
	32		32

	5−√5		5+√5
t2=		lub t2=
	8		8

0<t<0,78 t=U{√5−√5{2√2}

Mariusz: Tak to jest właśnie dwumian Newtona tylko zastosowany do dwumianu (cosx+isinx) W literaturze anglojęzycznej nazywają go Binomial theorem albo Binomial expansion

Mila:

	π		√5−√5		√10−2√5
sin		=		=
	5		2√2		4

liczby_zespolone: Dzięki Wam obu! Miłego wieczoru!

Mariusz: Mila czemu aż tak ograniczać przedział dla sinx ?

	π
Czy nie wystarczy to że		leży w pierwszej ćwiartce , wtedy ze znanego wierszyka ...
	5