Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n>2 liczba n4+n2+1 jest liczbą złoż zaba: Pytanie odnośnie rozwiązania działania: Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n>2 liczba n⁴+n²+1 jest liczbą złożoną. To zadanie pojawiło się kiedyś, tutaj rozwiązanie: 3) (n⁴+1)+n²= (n²+1)²−2n²+n²=(n²+1)²−n2=(n²+1−n)*(n²+1+n)∊N dla n>2 i n∊N i n²−n+1>1 i n²+n+1>2 Liczba n⁴+n² jest iloczynem dwóch różnych liczb naturalnych wiekszych od 1, zatem jest liczbą złożoną. Pytanie odnośnie drugiej linijki, tj dlaczego musimy pokazać, że n²−n+1>1 i n²+n+1>2? Rozumiem, że liczba złożona to taka liczba, którą można zapisać jako iloczyn dwóch liczb, z których jedna jest większa od 1 a druga mniejsza od danej liczby. Skąd więc drugi warunek? Z góry dziękuję!

Adamm: Nazwij u∊Z jednością (unit) jeśli istnieje k∊Z, że uk = 1. Tzn. jednościami są liczby ±1. Wtedy n jest liczbą złożoną, jeśli n = ab dla pewnych a, b∊Z, przy czym a i b nie są jednościami.

ite: Rozumiem, że zapisany na końcu warunek (liczba złożona to taka, którą można zapisać jako iloczyn dwóch liczb, z których jedna jest większa od 1, a druga mniejsza od danej liczby) nie jest prawidłowy. Ale czy w podanym rozwiązaniu nie wystarczyłby warunek n²−n+1>1 i n²+n+1>1 ?

Adamm: Notka: Złożoność i pierwszość liczb całkowitych powinna być raczej ograniczona do liczb >1.

zaba: adamm przepraszam, ale czy mógłbyś napisać trochę mniej matematycznym językiem?

Adamm: n − liczba naturalna Jeśli n = ab dla pewnych a, b>1, naturalnych, to mówimy że n jest złożona. Np. 6 = 2*3, 4 = 2*2, ale już 2 nie jest złożona.

zaba: Okej rozumiem, natomiast dalej nie wiem skąd te warunki:(

zaba: właśnie według tego co napisałeś, rozumuje tak jak ite, tj żeby pokazać, że są większe od 1

Adamm: Jak są większe od 2, to i od 1.

zaba: no to prawda, ale skąd warunek, że jest większe niż 2? w sensie po co pokazywać, że od 2? jakbym wziął, że od 1, to byłoby dobrzze?

Adamm: Ja na to patrzę tak. Ktoś patrzy, funkcja rosnąca, podstawia n = 1. Wtedy n²+n+1 = 3. No to ten ktoś pisze, n²+n+1>2. Po co pokazywać? To nie ważne po co.

Adamm: Na logikę. Jakbyś pokazał że >1 to by była złożona? No tak.

jc: To wygląda na stwierdzenie faktu. Jeśli n>2, to n²−n+1>1 i n²+n+1>2. Przecież tak jest. Dla uzasadnienia wystarczyłoby dwa razy ... > 1. Ale skoro jest .. > 1 i ,,,>2, to jest ... > 1 i ...>1. Poza tym wystarczy, aby n>1, czyli n≥2. Wtedy n²−n+1≥3 i n²+n+1≥7.

zaba: Okej dziękuje Wam obojgu. Miłej nocy!

ite: Ja też dziękuję za wyjaśnienia, już wszystko wiadomo : )