Elementarna nierówność Jeżyk: Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność: √n ≤ ⁿ√n!

jc: k(n+1−k) ≥ n dla k=1,2,3,...,n (najmniejszą wartość równą n mamy dla k=1 i k=n) 1*n ≥ n 2*(n−1) ≥n 3*(n−2) ≥n ... n*1 ≥ n Mnożąc stronami dostajemy (n!)² ≥nⁿ Teraz pierwiastek stopnia 2n i mamy √n!≥√n

Jeżyk: Hmm elegancko. Ja próbowałem coś indukcyjne i ze średnimi ale za bardzo mi nie wyszło. Dzięki !

Rothko: czy na pewno 2*(n−1) ≥ n, 3*(n−2) ≥ n ... itd są spełnione dla dowolnego n ∊ ℕ ? Tzn. na pewno nie są i dlatego czy możemy tak pomnożyć te nierówności między sobą?

jc: f(k)= k(n+1−k) to funkcja kwadratowa, wykresem jest parabola skierowana wierzchołkiem do góry. Najmniejsze wartości są osiągane na końcach przedziału, w naszym przypadku dla k=1 i k=n: f(1)=n, f(n)=n. Jeśli a≥b ≥0, c≥d ≥0, to ac ≥ bd. Podobnie z większą liczbą nierówności.

an: √n ≤ ⁿ√n!⇒obustronnie do potęgi 2n ⇒nⁿ≤(n!)² (n!)²=1*2*...*n*1*2*...*n= (1*n) * ( 2*(n−1)) *... *((n−1)*2) * (n*1) ≥ nⁿ