Topologia bob: Witam, mam problem z topologią, konkretnie z twierdzenie Banacha które jest zwiazane z kategorią Baire'a otóż, mówimy że zbiór jest pierwszej kategorii jeżeli da się go przedstawić jako przelicalną sumę zbiorów nigdzie gęstych jeżeli nie jest pierwszej to jest kategorii drugiej. Teraz dochodze do twierdzenia Banacha kategory theorem i tresc jego brzmi natsepująco; In a topological space X, the union of any family of open sets of first category is of first category z grubsza tlumacząc chodzi o to, że podobno w przestrzeni topologicznej X suma każdej rodziny zbiorów otwartych pierwszej kategorii jets pierwszej kategorii Nie rozumiem więc jak to jest możliwe że wgl istenieje cos takiego jak ZBIÓR otwarty Pierwszej kategorii? skoro zbior pierwszej kategorii to przeliczalna suma zbiorow nigdzie gestych a suma zbiorow nigdzie gestych jest nigdzie gesta wiec nie moze byc otwarta nie mogę tego pojąc Czy ktos z was moze mi to rozjasnić? z góry dziekuje za wszelkie odpowiedzi

bob: ktoś coś?

bob: ?

ABC: masz taki problem że masz za małą wyobraźnię

bob: a Ty masz problem czytania ze zrozumieniem

ABC: ja dobrze rozumiem że ty nie możesz sobie wyobrazić zbioru otwartego pierwszej kategorii

bob: No nie potrafię, ale chyba dlatego, że przypisuję otwartośc zbioru do przestrzeni metrycznej, natomsiat z definicji topologii zbior należący do topologi jest otwarty a mogą to byc po prostu punkty które w przestrzeni metrycznej będą domknięte natomiast jako elemety bardziej ogólnej od przestrzeni metrycznej, topologii będą otwarte

ABC: dobrze kombinujesz, nie każda topologia pochodzi od metryki, a nawet gdy pochodzi od metryki dyskretnej to zbiory jednopunktowe są otwarte

Adamm: Hm. To może taki trywialny przykład, zbiór pusty

bob: no dobra, ale w takim razie jeżeli z definicji kazdy element topologi jest zbiorem otwartym to jeżeli np mamy topologie {{a},{b},{a,b},zbior pusty }− nie jestem pewien czy poprawnie okreslona topologia no ale nawet jezeli jest tam jeszcze kilka zbiorow to czym jest zbior nigdzie gęsty w takiej topologii ?

Adamm: Ta topologia jest indukowana przez metrykę d(a, b) = 1, d(x, x) = 0, x∊{a, b}.

Adamm: W przestrzeni metrycznej, gdyby A był otwarty i nigdziegęsty, to jeśli A byłby niepusty, to mielibyśmy pewną kulę K⊂A, i wtedy int(cl(A)) ≠ ∅, sprzeczność. Jedyny zbiór otwarty nigdziegęsty w przestrzeni metryzowalnej to ∅.

bob: no to w takim razie do jakich przestrzeni odnosi się to twierdzenie banacha które podałem na samym początku ? jakiś przykład

Adamm: Właściwie to sam nie wiem. Jeśli A jest otwarty i nigdziegęsty, to A⊂cl(A) więc A⊂int(cl(A)), skąd A = ∅.

bob: No właśnie, dlatego wcześniej napisałem że nie jestem w stanie sobie wyobrazić zbiorów otwartych pierwszej kategorii

Adamm: Zgaduję, że dla autora to co nazywasz zbiorem pierwszej kategorii, jest zbiorem drugiej kategorii, i na odwrót.

bob: https://math.rice.edu/~michael/teaching/426_Spr14/Banach_Mazur.pdf chodzi o stronę 62

Adamm: Zapomniałem że pytanie było o otwarte zbiory 1 kategorii, a nie o otwarte zbiory nigdziegęste. Weź sobie np. Q z metryką Euklidesową, wtedy samo Q jest 1 kategorii, a jest otwarte.