Rozwiąż nierówność Technik: Rozwiąż nierówność 2m³−m+1>0 Hejka, aktualnie robię zadania do matury z funkcji kwadratowej z jednego z założeń wyszło mi cos takiego... jest jakiś sposób aby to prosto obliczyć?

ABC: tak , −1 jest pierwiastkiem

Technik: Tutaj pierwiastek jest liczba rzeczywista, chodzi mi o jakiś uniwersalny sposob

ABC: jest taki sposób i kolega Mariusz uważa że dzisiejszy licealista jest w stanie go zrozumieć i użyć a ja jestem sceptyczny co do tego

Technik: A jakiż to sposób?

CBA: (m+1)(2m²−2m+1)>0 dla 2m²−2m+1 Δ<0 czyli to wyrażenie jest >0 dla m∊R zatem m+1>0 ⇒ m>−1

ABC: wzory Cardano ale tam jest casus irreducibilis i wtedy funkcje hiperboliczne albo przynajmniej trygonometria

Technik: Jakoś do tego doszedłeś ze (m+1)(2m²−2m+1)>0? Nie byłbym w stanie zauważyć tego

Technik: + za te wzory cardano

WhiskeyTaster: (m+1)(am² + bm + c) = 2m³ − m + 1 am³ + bm² + cm + am² + bm + c = 2m³ − m + 1 am³ + (a + b)m² + (c + b)m + c = 2m³ − m + 1, wymagamy równości, jak zresztą znak równości wskazuje, to też korzystamy z tego, że dwa wielomiany są równe dokładnie wtedy, gdy ich współczynniki są równe − stąd układ równań: a = 2 a + b = 0 c + b = −1 c = 1 a = 2 b = −2 c = 1 Stąd mamy: (m+1)(2m² −2m + 1) = 2m³ − m + 1 Inaczej jeszcze można dzielić pisemnie. Dodatkowo taka uwaga: warto zanotować, że porównujemy wielomiany, a nie wielomian i liczbę.

Mariusz: "jest taki sposób i kolega Mariusz uważa że dzisiejszy licealista jest w stanie go zrozumieć i użyć a ja jestem sceptyczny co do tego" Jeśli do rozwiązania przypadku nieprzywiedlnego użyjemy trygonometrii to jest w stanie go zrozumieć Gdyby liczył z użyciem zespolonych to też by dostał rozwiązanie wyrażone za pomocą funkcji trygonometrycznych Pokazując sposób licealiście wystarczy wyjść z tego że postać równania w przypadku nieprzywiedlnym przypomina wzór na cosinus bądź sinus kąta potrojonego Hiperbolicusy w tym przypadku wymagają zespolonych Tak naprawdę do rozwiązania potrzebne są Wzory skróconego mnożenia Trygonometria (wzór na cosinus bądź sinus kąta potrojonego albo przynajmniej wzór na cosinus bądź sinus sumy) Wiadomości o funkcjach w tym funkcja odwrotna mogą być w pewnym miejscu przydatne Dzielenie wielomianów Jeśli znamy wzory Vieta oraz sposób rozwiązywania równania kwadratowego to może to nam pewne rzeczy uprościć ale zamiast wzorów Vieta można użyć chociażby metody podstawiania a zamiast rozwiązywania równania kwadratowego można znowu użyć wzorów skróconego mnożenia Jako ciekawostkę podam że są też gimnazjaliści którzy mogą zrozumieć rozwiązanie z użyciem zespolonych Dzisiaj jeden z nich jest już informatykiem

marrro: 2m³−m+1>0 z lewej strony odejmujemy i dodajemy m 2m³−m−m+m+1>0 ⇒ 2m³−2m+m+1>0 ⇒ 2m(m²−1)+(m+1)>0 ⇒ 2m(m−1)(m+1)+(m+1)>0 ⇒ (m+1)[2m(m−1)+1]>0 ⇒ (m+1)(2m²−2m+1)>0 dalej jak pisał/a CBA

Mariusz: Jak wiemy że −1 jest pierwiastkiem to łatwo tak pogrupować Tutaj ktoś wspominał o uniwersalnym sposobie Ten tzw uniwersalny sposób wykorzystuje wzory skróconego mnożenia Rozwiążmy najpierw równanie 2m³ − m + 1 = 0 m = u + v m³ = u³+3u²v+3uv²+v³ m³=u³+v³+3uv(u+v) Teraz możemy albo wstawić m = u+v do równania albo porównać wielomiany m³−3uvm−(u³+v³)=0 oraz

	1		1
m3 −		m +		= 0
	2		2

Mamy zatem

	1
uv=
	6

	1
u3+v3=−
	2

	1
uv=
	6

	1
u3(u3+v3=−		)
	2

	1
uv=
	6

	1
u6+u3v3=−		u3
	2

	1
uv=
	6

	1		1
u6+		=−		u3
	216		2

	1
uv=
	6

	1		1
u6+		u3+		=0
	2		216

Tutaj założyłem że nie znamy wzorów Vieta aby móc szybko zapisać równanie rozwiązujące

	1		1
u6+		u3+		=0
	2		216

	1		1		1
(u3+		)2+		−		=0
	4		216		16

	1		25
(u3+		)2−		=0
	4		432

	1		5√3		1		5√3
(u3+		−		)(u3+		+		)=0
	4		36		4		36

Tutaj założyłem że nie znamy sposobu z wyróżnikiem i zastosowałem wzory skróconego mnożenia

	1		5√3
u3+		+		=0
	4		36

	9+5√3
u3=−
	36

	54+30√3
u3=−
	216

	3√54+30√3
u = −
	6

(a+b√3)³=a³+3a²b√3+9ab²+3b³√3 a³+9ab²=54 a²b+b³=10 b=1 a=3 3³+9*3=27+27=54 3²*1+1³=9+1=10 A tutaj taka zgaduj zgadula nie zawsze zadziała ale jeśli zadziała to pozwoli uprościć postać pierwiastka

	3+√3
u3=(−		)3
	6

	3+√3
u=−
	6

	1	1
v=
	6	u

	3+√3
u=−
	6

	1	6
v=−
	6	3+√3

	3+√3
u=−
	6

	1
v=−
	3+√3

	3+√3
u=−
	6

	3−√3
v=−
	6

m=u+v

	3+√3		3−√3
m=−		−
	6		6

	−3−√3−3+√3
m=
	6

m = −1 2m³ − m + 1 = 0 2 0 −1 1 −1 2 −2 1 0 Dzielenie przez dwumian schematem Hornera aby sprawdzić czy nie ma więcej rzeczywistych pierwiastków (m+1)(2m²−2m+1)>0 2m²−2m+1 Δ=2²−4*2*1=4−8 < 0 m ∊ (−1,∞)