Wielomian Mrx: Czy jesli z=i+1 jest pierwiastkiem wielomoanu o wspolczynnikach rzeczywistycz to z=−i+1 jest tez jego pierwiastkiem?

ICSP: Tak.

Adamm: Mamy pewną strukturę (S, +, *), przy czym +, * są łączne, oraz funkcję x→x' z S w S, taką, że (x+y)' = x'+y' oraz (xy)' = x'y', x, y∊S (tak zwany endomorfizm). Niech w dodatku będzie dany pewien niepusty zbiór A⊆S, taki, że x' = x dla x∊A. Jeśli teraz w(x) = a_nxⁿ+...+a₀ jest wielomianem o współczynnikach z A (tzn. a_i∊A, i = 0, 1, 2, ..., n), a r∊S jest taki, że w(r) ∊ A, to mamy w(r) = (w(r))' = (a_nrⁿ+...+a₀)' = a_n(r')ⁿ+...+a₀ = w(r'). Tu, S = C, A = R, a ' to sprzężenie liczb zespolonych.

Adamm: Jako inną aplikację np. coś takiego. Niech a+b√c będzie pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych, a, b, c∊Q, √c∉Q. Wtedy funkcja (x+y√c)' = x−y√c jest dobrze określona i zachowuje działania dodawania i mnożenia (w sensie 10:58). W dodatku, x' = x, x∊Q. Stąd wynika, że jeśli np. 1+√2 jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych, to 1−√2 również jest pierwiastkiem tego wielomianu.

jc: Addam, dobry wstęp do teorii ciał.