trygonometria salamandra: Rozwiąż równanie: sinx*sin2x = 3/2 cosx Jak rozwiązać takie równanie, jeśli chciałbym rozbić to na sinx * 2sinxcosx = 3/2 cosx i chciałbym to podzielić przez cosx uwzględniając, że cosx ≠ 0. Gdy próbowałem, to wychodziły mi cztery pierwiastki, jednak powinno wyjść 5, właśnie x= π/2+kπ, czyli wtedy, gdy cos jest ujemny, jednak jak do tego dojść?

ICSP:

	3
5 * 0 =		* 0
	2

dzielimy przez 0

	3
5 =
	2

Gdzie jest błąd ?

salamandra: No ja wiem, że nie można dzielić przez 0, ale przecież, gdy zaznaczę, że x≠π/2+kπ, to mogę podzielić przez cosx

ICSP:

	π
Przypadek gdy x =		+ kπ rozważasz osobno?
	2

Czy po prostu o nim zapominasz ?

	π
Druga sprawa. Dla x =		+ kπ cosinus nie jest ujemny. Jest równy 0.
	2

salamandra: Tak, literówka, miałem na myśli że jest równy 0. Ok, ale właśnie do tego dążę, gdy rozważam przypadek, gdy cos x = 0, to wstawiam za x = π/2 + kπ, czy za cosx wstawiam 0, czy jak to wtedy rozwiązać?

ICSP:

	π
Jeżeli rozważasz przypadek x =		+ kπ to zwyczajnie podstawiasz go do równania.
	2

Jednak polecam wykorzystywać metodę z wyciąganiem czynnika przed nawias. Rozbijanie na przypadki jest dłuższe, bardziej monotonne i zwiększa prawdopodobieństwo pomyłki.

salamandra: Wiem, że zwiększa prawdopodobieństwo pomyłki, jednak przy tego typu równaniach często po prostu brakuje mi pomysłu, nie stanowi dla mnie problemu rozwiązanie, tylko znalezienie pomysłu, np. w przykładzie sinx= −cosx program sugeruje podzielenie przez cosx i niby pisze jakieś "znajdź wartości cos(x) spoza zbioru wartości, liczy x= π/2+kπ, ale potem nagle o nim zapomina i nigdzie go nie uwzględnia. Czy można rozwiązać to poprzez zamiane cosinusa na sinus, np. cos(x) = sin(π−x) i policzyć korzystając ze wzoru na sumę sinα+sinβ?

PQR: Mozna tak zrobic Niedlugo tez zabieram sie za rownania i nierownosci trygonometryczne wiec moze zapoznaj sie ze wzorem sinx*siny

salamandra: No właśnie próbowałem tak zrobić i coś nie do końca dobrze wyszło: sinx= −cosx sinx+sin(π−x)=0

	x+π−x		x−π+x
2sin		cos		=0
	2		2

	π		2x−π
2sin		cos		=0
	2		2

	π
2sin		=2
	2

	2x−π
2cos		=0
	2

	2x−π
cos		=0
	2

x=π+kπ, a powinno wyjść −π/4+kπ

PQR: Ale zauwaz z eprosciejszy wzor masz cosα+cosβ

	π
przeciez cos 0=
	2

ICSP: sin(π −x) ≠ cosx

	π
cosx = sin(		− x)
	2

salamandra: PQR co masz na myśli? ISCP, wielki błąd z mojej strony, ciężki weekend miałem i już nawet π dla mnie to 90 stopni a nie 180.. We wtorek test, a ja przegapiam najbardziej elementarne rzeczy.. Mógłby mi jeszcze ktoś wyjaśnić, gdzie przy rozwiązywaniu sinx = −cosx /: cosx sinx/cosx= −1 tgx= −1 x= −π/4+kπ, gdzie się w programie mogło podziać wspomnienie o tym warunku cosx=0? Nadal nie mogę tego pojąć, więc chyba zostanę przy sposobie, którym przed chwilą to obliczyłem

ICSP: Program wie, że sinus i cosinus nie mogą się jednocześnie zerować (patrz jedynka trygnometryczna) Dlatego cosx = 0 nie jest rozwiązaniem i mogę sobie podzielić. Podzielił i dostał tgx = −1

PQR: Spojrz na wzor .masz same cosinusy

salamandra: Co to znaczy, że nie mogą się jednocześnie zerować? Można to jakoś łopatologicznie wytłumaczyć, albo podać przykład przeciwny, kiedy na przykład byłby rozwiązaniem?

ICSP: Tzn nie istnieje x taki, że sinx = 0 i cosx = 0. Więc patrząc na równanie sinx = −cosx widzimy, że żadna ze stron zerem być nie może.

abcd : sinα=0 gdy α=0

	π
cosα=0 gdy α=
	2

Musisz zobaczyc na wykres obu funkcji

salamandra: Ok, a jak moglibyśmy się cofnąć do pierwotnego przeze mnie podanego przykładu, czyli sinx * sin2x = 3/2cosx i gdybym takie coś chciał podzielić przez cosx? Czy tutaj nie istnieje zasada, że żadna ze stron zerem być nie może?

ICSP:

	π
i jeżeli chcesz podzielić przez cosx to zakładasz x ≠		+ kπ
	2

	π
Dla x =		+ kπ rozważasz osobno.
	2

	π
Nie widać na pierwszy rzut oka czy lewa strona dla x =		+ kπ się nie wyzeruje.
	2

salamandra: Czyli wtedy podstawiam po prostu sin(π/2+kπ)*2sin(π/2+kπ)= (i tutaj wpisuje 3/2, czy 0)

ICSP: Podstawiasz i sprawdzasz co dostajesz.

	π
Dla x =		+ kπ
	2

	3
sin(π/2 + kπ) * sin(π + 2kπ) =		cos(π/2 + kπ)
	2

0 = 0

	π
x =		+ kπ jest rozwiązaniem równania.
	2

	π
Dla x ≠		+ kπ mamy cosx ≠ 0 i mogę podzielić obustronnie równanie przez cosx.
	2

Dalej wiadomo co i jak.

salamandra: Ok, w końcu to pojąłem, dziękuję

salamandra: Jeszcze jedno kosmetyczne pytanie, z troszkę odrębnej działki: gdy mam przedstawić w postaci iloczynu sin²α−sin²β to jest różnica gdy napiszę: (sinα−sinβ)(sinα+sinβ), a sin(α+β)sin(α−β)?

abcd : ma byc ten drugi zapis

ICSP: Drugi zapis. Pierwszy nie jest przedstawieniem w postaci iloczynu.

salamandra: A czy jest to tożsame?

ICSP: jest. Tylko pierwszy nie jest zapisany za pomocą iloczynu a drugi jest.

salamandra: To rozpisanie w postać (a−b)*(a+b) nie jest iloczynem?

abcd : proponuje spojrzec ci do tablic .

ICSP: Zwykłym tak, trygonometrycznym nie. Masz mieć iloczyn funkcji trygonometrycznych. Ewentualne operacje arytmetyczne typu dodawanie , odejmowanie kątów musi występować w argumentach funkcji trygonometrycznych.