Postać wykładnicza Narina: Wyznacz wszystkie rozwiazania równania za pomoca postaci wykładniczej z³=27

Adamm: z = 3e^iα e^3iα = 1 3α = 2kπ

	2kπ
α =
	3

	2πi		4πi
z ∊ { 1, e		, e		}
	3		3

PW: z³ = 3³

	z
(		)3 = 1
	3

	z
Liczby		stanowią więc pierwiastek trzeciego stopnia z jedynki − rozwiązania są znane.
	3

Adamm: zapomniałem przez 3 przemnożyć, ale już trudno

Narina: Mam głownie problem z tym jak zapisac |z| czy bedzie to √27² czy √3²? Bo w zapise jest liczba zespolona do potegi trzeciej. Wiec teretycznie jej odległosć wynosi 3 od srodka ukladu. Ale nie jestem tego pewna

Narina: A gdybym chciała to obliczyć ze wzoru na pierwiastki postaci trygonometryczne z³=27 czyli z=³√27 |z|=√(³√27²)=3 n=3 ale coś źle wtedy mi wychodzi bo to bedzie ³√3(cos(2kπ)/3+isin(2kπ)/3)

PW: Można pomyśleć tak: |z|³(cosφ + isinφ)³ = 3³ |z|³(cos3φ+isin3φ) = 3³ Prawa strona jest liczbą rzeczywistą, więc sin3φ = 0 (część urojona musi być zeem). 3φ = 0 lub 3φ = 2π lub 3φ = 4π − to właśnie pokazał Adamm, od razu w postaci wykładniczej. Zostaje |z|³cos3φ = 3³ |z|³cos0 = 3³ lub |z|³cos(2π) = 3³ lub |z|³cos(4π) = 3³ za każdym razem |z|³ = 3³ czyli |z| = 3.

PW: Tylko po co takie wygibasy? O 18:08 pokazałem chyba najprostszy sposób:

	z
(		)3 = 1,
	3

	z
a więc liczba		ma moduł 1, ale do rozwiazania zadania nie jest to potrzebne, potrzebna
	3

jest znajomość liczb tworzących pierwiastek trzeciego stopnia z jedynki.