ciag ograniczony Jul3k: Zbadac czy podane ciagi sa ograniczone z dolu,z gory, sa ogrniczone :

	2+sinn
an=
	3−2cosn

	1		1		1
an=		+		+ .......... +
	41+1		42+2		4n+n

an= 2 −√n Nie za bardzo wiem jak sie za to wogole zabrac... i czym sa ciagi ograniczone z gory i z dolu bo nie wytluamczyli nam tego a nie moge znalezc zadnego porzadnego materialu do nauki.... moglbym prosic o wytlumaczenie na tych przykaldach?

ICSP: Na logikę Ciąg a_n jest ograniczony z góry jeżeli istnieje liczba rzeczywista M taka, ze dla każdego wyrazu ciągu zachodzi: a_n ≤ M. Kwantyfikatorami : ∃_{M ∊ R} ∀_{n ∊ N} a_n ≤ M Ograniczoność z dołu definiuje się analogicznie. Pierwszy przykład:

	2 + sinn
an =
	3 − 2cosn

Ograniczoność z góry: Chcę zwiększyć ułamek, więc zwiększam maksymalnie licznik i zmniejszam mianownik:

	2 + sin(n)		2 + 1
an =		≤		= 3
	3 − 2cos(n)		3 − 2

Ograniczenie od dołu zupełnie analogicznie.

Jul3k:

	1
czyli z dolu bedzie ograniczony przez		?
	5

Jul3k: a co z drugim przykaldem? i np z przykaldem bez funkcji trygonoemtrycznych

	n2+1
an=
	n

ICSP: Tak. Potrafisz podać definicję ograniczenia z dołu? Słowną lub za pomocą kwantyfikatorów.

Jul3k: emm Ciag jest ograniczony z dolu jezeli istanieje liczba rzeczywista powiedzmy H (nie wiem jakie jest na to oznaczenie) ze dla kazdego wyrazu zachodzi an>H

Jul3k: mniejsze badz rowne zapomnaielm dodac

Jul3k: wieksze * badz rowne

ICSP: Widzisz, względnie intuicyjne. Tak samo musisz postępować z przykładami. Jeżeli twój ciąg posiada tylko wyrazy dodatnie to jego ograniczeniem od dołu jest 0 lub dowolna liczba ujemna. Jeżeli ciąg posiada tylko wyrazy ujemne to jego ograniczeniem od góry jest 0 lub dowolna liczba dodatnia. Jeżeli ciąg jest malejący to jego ograniczeniem od góry jest pierwszy wyraz. Jeżeli ciąg jest rosnący to jego ograniczeniem od dołu jest pierwszy wyraz. No i najważniejsze: Ciąg zbieżny jest ograniczony.

Jul3k:

	1
Czyli mam rozumiec ze w tym 2 prezykaldzie ciag z gory bedzie ograniczony przez		bo taki
	5

jest 1 wyraz a ciag jest malejący a z dolu bedzie ograniczony przez 0 bo jest zbiezny do 0 ?

ICSP: W drugim przykładzie ciąg nie jest malejący. Z każdym wyrazem dodajesz coś dodatniego, więc a_n będzie się zwiększał. Formalnie:

	1		1		1		1		1
an =		+ ... +		≤		+ ... +		+		=an+1
	4+1		4n+n		4+1		4n+n		4n+1+n+1

Ciąg jest rosnący.

	1
Ograniczenie z dołu mamy zatem:
	5

ale równie dobrze możne to być 0 ( suma liczba dodatnich zazwyczaj jest dodatnia ) Dla ograniczenia od góry radziłbym poucinać w mianownikach 1 , 2 , 3 , ... , n W ten sposób zwiększysz ułamek.

Jul3k:

	1		1
Ale jesli zwieksza sie ulamek to nie zmniejsza sie liczba? Przyklad;		...		...
	3		4

	1
		Taki ciag nie jest malejacy?
	5

Jul3k: dobra okej pochrzanilem... juz rozumiem , dziekuje bardzo za pomoc