Oblicz granicę Dyskytant: Oblicz granicę dla n dążących do nieskończoności.

	−8n−1
lim
	7n+1

Nigdy nie robiłem takiego z wyrażeniem w potędze.

WhiskeyTaster:

	8n−1		8n		1		8
−		= −		= −		*(		)n
	7n+1		8*7*7n		8*7		7

Czyli rozbieżny do −∞.

Dyskytant: Dziękuję, a co tu się stało?

WhiskeyTaster: A, rozumiem. Więc już tłumaczę.

	8n
Najpierw korzystamy z tego, że 8n−1 =		oraz z tego, że 7n+1 = 7*7n. W takim
	8

razie otrzymujemy:

	8n−1		8n   8		8n
−		= −		= −
	7n+1		7*7n		8*7*7n

Następnie korzystamy z rozdzielności mnożenia i mamy:

	8n		1		8n
−		= −		*
	8*7*7n		7*8		7n

	8n		8
Następnie wiemy, że skoro mamy		, to możemy to zapisać jako (		)n, więc
	7n		7

otrzymujemy:

	1		8
−		*(		)n
	7*8		7

I teraz liczymy normalnie granicę, z tym, że tylko jedno wyrażenie ma wyraz n, stąd

	1		8		1		8
limn → ∞ −		*(		)n = −		*limn → ∞ (		)n.
	7*8		7		7*8		7

	8		8
limn → ∞ (		)n jest z kolei granicą ciągu geometrycznego o współczynniku		, więc
	7		7

ciąg ten jest rozbieżny. Albo inaczej: licznik rośnie szybciej niż mianownik, stąd granicą jest ∞.

	1		8		1
Wobec tego mamy: −		*limn → ∞ (		)n = −		*∞ = −∞
	7*8		7		7*8

Dyskytant: Dziękuję

Mila: Możesz tak przekształcić:

	8n−1		1		8
−		=−		*(		)n−1
	7n−1*72		49		7