Rozwiąż równanie kajetan1213: Rozwiąż równanie: Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego przykładu, albo naprowadzenie w która "pójść" stronę: (z−i)⁴=(iz+3)⁴

Pan Kalafior: t⁴ = r⁴ ⇒ t = r*z_i, i = 1, 2, 3, 4 gdzie z_i to pierwiastki 4 stopnia z 1 (czyli 1, −1, i, −i)

kajetan1213: a dziękuję za pomoc

kajetan1213: Jednak dalej nie rozumiem niestety mogłbyś dalej rozpisać co należy zrobić?

Pan Kalafior: zauważyłem że użyłem i jako indeksu, to błąd bo pracujemy z liczbami zespolonymi masz 4 możliwości z−i = iz+3 lub z−i = −(iz+3) lub z−i = i(iz+3) lub z−i = −i(iz+3) Te równania są liniowe, więc powinieneś sobie poradzić. Jeśli chodzi o wyprowadzenie, to np. tak. Albo r = t = 0, albo r, t≠ 0 i (t/r)⁴ = 1 skąd t/r = z_j, więc t = r*z_j, j = 1, 2, 3, 4

PW: To pomyśl tak:

	(z−i)4
		= 1
	(iz+3)4

	z−i
(		)4 = 1.
	iz+3

Oznacza to, że liczby

	z−i
	iz+3

stanowią pierwiastek czwartego stopnia z 1. Liczby te są znane: 1, −1, i, −i. Trzeba więc rozwiązać cztery równania, pierwsze z nich to

	z−i
		= 1.
	iz+3

Mila: Z wzoru skróconego mnożenia: (a²−b²)=(a−b)*(a+b) i²=−1 ========= (z−i)⁴=(iz+3)⁴⇔ (z−i)⁴=(iz−i²*3)⁴ (z−i)⁴=i⁴*(z−3i)⁴ (z−i)⁴−(z−3i)⁴=0 [(z−i)²−(z−3i)²)]*[(z−i)²+(z−3i)²)]=0 [(z−i)−(z−3i)]*[(z−i)+(z−3i)]*[(z−i)²−i²(z−3i)]=0 [(z−i)−(z−3i)]=0 lub [(z−i)+(z−3i)]=0 lub [(z−i)−i*(z−3i)]=0 lub [(z−i)+i*(z−3i)]=0 z=2i lub z=−1+2i lub z=1+2i ====================