: W zbiorze R określamy działanie „o”. Zbadaj, czy jest ono wykonalne w tym zbiorze, czy jest przemienne, łączne, czy ma element neutralny i odwrotny, jeżeli: a) a o b = 2a + 2b b) a o b = a + b − 2 c) a o b = a +2b d) a o b = 0,5(a + b) e) a o b = (ab):3 Prosiłbym przy okazji o wyjaśnienie tematu działań w zbiorze (to znaczy jego podstaw)

ite: a o b = 2a + 2b Sprawdź, czy suma każdych dwóch podwojonych liczb rzeczywistych jest l.rzeczywistą. Przeczytaj i zapisz definicje przemienności, łączności działań, elementu neutralnego i odwrotnego. Podstaw do nich to działanie.

: w przykladzie a element neutralny wyszedl mi e = −1/2a to znaczy ze taki jest element neutralny czy ze nie istnieje elemtn neutralny dla tego dzialania?

ite: Element neutralny (jeśli istnieje) nie zależy od wyboru a. Więc tutaj nie istnieje.

: dzieki rozumiem a element odwrotny juz zalezy od wyboru a prawda? wiec w tym wypadku jesli rowna sie −5a to istnieje?

: a nie jesli nie ma elementu neutralnego to nie moze byc tez odwrotnego bo ma go we wzorze sorry xd

ite: Tak, element odwrotny do a zależy od wyboru a. W jego definicji występuje element neutralny a o a⁻¹ = e jeśli nie istnieje element neutralny działania, to nie szukamy odwrotnego.

Pan Kalafior: a) przemienność, łączność, brak elementu neutralnego b) zauważ że (a+2) o (b+2) = a+b+2 i f(x) = x+2 jest izomorfizmem ze zbioru liczb rzeczywistych z dodawaniem, w zbiór liczb rzeczywistych z działaniem o. Więc jest grupą przemienną. c) nie jest przemienne, nie jest łączne, nie ma elementu neutralnego, ale ma prawostronną identyczność 0, bo a o 0 = a d) f(x) = 4x to 2(a+b) = 0.5(f(a)+f(b)) i f jest izomorfizmem ze zbioru z działaniem w punkcie a) na ten zbiór z działaniem skąd przemienność, łączność, brak elementu neutralnego e) przemienność, łączność, element neutralny 1 a⁻¹ = 3/a dla a≠0, 0 nie ma elementu odwrotnego działanie to funkcja n−arna f:Sⁿ→S, tutaj n = 2

ite: Czy w e) elementem neutralnym nie jest 3 ?

Pan Kalafior: izomorfizm magm zachowuje łączność, przemienność, element neutralny i elementy odwrotne To może nie być do końca oczywiste. Niech będzie dany izomorfizm magm f:S(o)→R(*). Będziemy sprawdzać po kolei że łączność, przemienność... itd. S(o) pociąga za sobą łączność, przemienność, ... R(*) α, β, γ∊R to α = f(a), β = f(b), γ = f(c) dla pewnych a, b, c∊S δ∊R, δ = f(e) gdzie e∊S to element neutralny S(o) (jeśli istnieje) Łączność: (α*β)*γ = (f(a)*f(b))*f(c) = f(a o b)*f(c) = f((a o b) o c) = f(a o (b o c)) = = f(a)*(f(b)*f(c)) = α*(β*γ) Przemienność: α*β = f(a)*f(b) = f(a o b) = f(b o a) = f(b)*f(a) = β*α Element neutralny: α*δ = f(a)*f(e) = f(a o e) = f(a) = α Przypadek δ*α = α jest dualny. Wykazaliśmy nawet, że lewa/prawa identyczność jest przeprowadzana w lewą/prawą identyczność. Element odwrotny: Jeśli α⁻¹ = f(a⁻¹), to α*α⁻¹ = f(a o a⁻¹) = f(e) = δ i dualnie α⁻¹*α = δ. Wykazaliśmy nawet, że prawa/lewa odwrotność jest przeprowadzana w prawą/lewą odwrotność.

Pan Kalafior: @ite, tak, myślałem o zwykłym mnożeniu

ite: dziekuję za odpowiedź