zadanie 3 bjkm: Niech a₁,a₂,....a_n będą liczbami dodatnimi natomiast S ich sumą. Udowodnij, że

	a1		a2		an		n
		+		+......+		≥		dla n≥2
	S−a1		S−a2		S−an		n−1

Blee: skąd są te zadania

ABC: wygląda na jakąś książeczkę dla olimpijczyków

Saizou : Ja na razie doszedłem do nierówności

S		S		S		n2
	+		+...		≥
S−a1		S−a2		S−an		n−1

jc:

x		1		x		1
	≥		(		− p) +		− 1
S−x		(1−p)2		S		1−p

Weź p=1/n. x=a_i i wysumuj względem i. Otrzymasz swoją nierówność.

ite: nie OM i nie Diamentowy Indeks

jc: Wykres y=x/(1−x) leży ponad styczną w punkcie (p, p/(1−p)). Potem wstawiłem zamiast x, x/S.

jc: Saizou, Twoja nierówność jest mocniejsza. Niestety dla n=3 i a₁=a₂=a₃ dostaniemy 3/2 czyli mniej niż 9/2.

Saizou : jc korzystałem z nierówności między średnimi Am ≥ Hm dla S−a₁, S−a₂, ..., S−a_n

jc: ok, nie zaważyłem, że masz inną lewą stronę.

jc:

x		n2x−1
	≥		⇔ (nx−1)2≥0, przy założeniu, że x<1.
1−x		(n−1)2

Teraz możesz podstawić x=a_i/S i wysumować.

Blee: 1)

	S
należy pokazać, że jeżeli t =		(średnia wartość wyrazu tegoż ciągu) oraz ∀1≤i≤n ai
	n

= t L = P

	t		t		t*n		n		n
L =		+ .... +		=		= t		=		= P
	t*n − t		t*n − t		t*n − t		n−1		n−1

2) następnie pokażemy, że

(t−x)		(t+x)		t		t
	+		≥		+
t*n − (t−x)		t*n − (t+x)		tn − t		tn − t

(t−x)(tn−t) − t(tn−(t−x))		t(tn−(t+x)) − (t+x)(tn−t)
	≥
(tn−(t−x))(tn−t)		(tn−(t+x))(tn−t)

((t−x)(tn−t) − t(tn−(t−x)))(tn−(t+x)) ≥ (t(tn−(t+x)) − (t+x)(tn−t))(tn−(t−x)) ntx² + nt²x − n²t²x ≥ −ntx² + nt²x − n²t²x ntx² ≥ −ntx² ntx² ≥ −ntx² 2ntx² ≥ 0 zauważmy, że a_i > 0 więc zarówno n*t > 0 ... więc nierówność jest spełniona Ogólna uwaga ... na tym etapie NIE MUSIMY zakładać, że n*t = S ... nie ma takiej potrzeby ... wystarczy że n*t > 0 3) i teraz już z górki mamy zauważmy, że dla dowolnego ciągu (a₁, a₂, a₃, ...... , a_n) o dowolnych wyrazach dodatnich możemy sobie wybrać dwa dowolne elementy (ale dla prostoty przyjmijmy że wybieramy elementy parami tak jak są w tymże ciągu):

	a1 + a2
oznaczmy b1 =
	2

	a1		a2		b1		b1
z (2) wiemy, że		+		≥		+
	S − a1		S − a2		S − b1		S − b1

	a1 + a2
oznaczmy b2 =
	2

I tak robimy dla każdej pary (jeżeli n jest nieparzyste to b_(n+1)/2 = a_n otrzymujemy nowy ciąg (b₁, b₂, ... , b_(n+1)/2 ) (lub b_n/2 dla n parzystego) i nadal S = a₁ + a₂ + .... + a_n = b₁ + b₂ + .... + b_x (gdzie x to albo n/2 albo (n+1)/2 w zależności od n) oraz

a1		an		b1		bx
	+ ... +		≥		+ ...+
S − a1		S − an		S − b1		S − bx

ponawiamy tą procedurę ponownie i za każdym razem zmniejsza nam się liczba wyrazów (o połowę lub 'prawie o połowę' ) w kolejnych ciągach, a elementy tych kolejnych ciągów będą się

	S
coraz bardziej zbliżać do tegoż mitycznego t =
	n

W sumie to byłoby ciekawe zadanie z informatyki − tak napisać program, aby zminimalizować ilość tych ciągów i jak najszybciej dojść do ciągu stałego (bądź jednoelementowego).

Blee: oczywiście miało być:

	a3 + a4
oznaczmy b2 =
	2

	a3		a4		b2		b2
wtedy:		+		≥		+
	S − a3		S − a4		S − b2		S − b2

i nie prawdą jest to co napisałem o nowym ciągu ... bo: a) albo będzie ona nadal n, ale tenże nowy ciąg będzie miał wyrazy: b₁ , b₁ , b₂ , b₂ , ..... , b_x (w zależności czy n parzyste czy nieparzyste)

	b1 + b2
w kolejnym kroku (przy tworzeniu ciągu cm będziemy brać c1 =		... itd.
	2

więc kolejny ciąg będzie miał wyrazy:

	n−1
c1 , c1 , c1 , c1, c2, ..... , cy (gdzie y = [		] + 1) .... itd.
	4

b) albo będzie ich o połowę lub 'prawie o połowę' mniej niż w poprzednim ciągu ... ale też i suma tegoż ciągu będzie się zmniejszać o 'połowę lub prawie o połowę' (czyli zostaje zachowana proporcja) w tym przypadku na końcu (ostatni ciąg) będziemy mieli o wyrazach: (t−q) i (t+q) który stworzyłby jednoelementowy ciąg o wyrazie równym t

Blee: natomiast w (a) w końcu otrzymamy ciąg stały o wyrazach równych t (a tych wyrazów będzie dokładnie n)

jc: Blee, to co napisałeś, tylko prościej (gotowa nierówność Jensena).

	x		1
f(x)=		=1+		jest funkcją wypukłą do góry dla x<1.
	1−x		x−1

Dlatego

1		ai		1		ai		1
	∑f(		) ≥ f(		∑		)=f(		)
n		S		n		S		n

	ai		1
∑f(		) ≥ n f(		)
	S		n

Jawnie

	ai/S		ai		1/n		1		n
∑		=∑		≥ n		=		=
	1−ai/S		S−ai		1−1/n		1−/1n		n−1