zbadaj monotoniczność ciągu allala: hej, mam zbadać monotoniczność ciągu a_n=ⁿ_(1+n) i nie wiem czy moja metoda jest dobra i wyczerpująca. Najpierw sprawdzam co to za ciąg, z obliczeń wynika, że rosnący. 1.) a₂>a₁ 2.) zał. ind. (n=k) a_k+1>a_k teza ind. (n=k+1) a_k+2>a_k+1 dowód ind. Sprawdzam ile wynosi a_k+2−a_k+1 ^k+2_k+3−^k+1_k+2=...=¹_(k+3)(k+2) wiemy, że k są dodatnie, więc cały ułamek jest > 0, czyli dowód skończony? Czy ta metoda jest poprawa?

KLZ: Wydaje mi sie ze aby zbadac monitonicznosc ciagu to badasz znak roznicy a_n+1−a_n lub

	an+1
ilorazu
	an

Tutaj badalbym roznice

PW: Dla ciągów o wyrazach dodatnich zamiast różnicy sąsiednich wyrazów można badać iloraz, na zasadzie

	b
b > a ⇔		> 1
	a

ak+1		k+1		1+k		(k+1)2		k2+2k+1
	=		•		=		=		> 1
ak		1+k+1		k		k(k+2)		k2+2k

Ponieważ rozumowanie nie zależy od wyboru liczby k, to stosowanie indukcji jest zbędne.

allala: Można badać iloraz czy trzeba?

PW: Można. Sposób z badaniem różnicy jest przecież zgodny z definicją ciągu monotonicznego.

jc:

	n+1		1
an=		= 1 −		i chyba widać, że funkcja jest rosnąca.
	n+2		n+1

Proponuję takie zadanie: Zbadać monotoniczność ciągu a_n=ⁿ√1+5ⁿ