Twierdzienie o ciągu monotonicznym i ograniczonym Idzi: Cześć, mam problem z takim zadaniem: sprawdź zbieżność ciągów w oparciu o tw. o ciągu monotonicznym i ograniczonym f) fn=1+1/2+...+1/n−ln(n) d) d1=d>0 dn+1=ln(1+dn)

jc:

1		dx		1
	<∫nn+1		= ln(n+1) − ln n <
n+1		x		n

czyli

1		1
	< ln(n+1) − ln n <
n+1		n

	1
fn+1 − fn =		− ln(n+1) + ln n < 0, czyli ciąg jest malejący
	n+1

Dodając nierówności

	1
ln(k+1) − ln k <
	k

dla k=1,2,3,..., n dostaniemy ln (n+1) < 1+1/2 + .. + 1/n a więc 0 < ln(n+1) − ln n < f_n czyli ciąg jest ograniczony z dołu Wniosek. Ciąg jest zbieżny. Sprawdź, czy czegoś nie pomyliłem!

ABC: mam taką uwagę że jeśli wykładowca się przyczepi że nie było jeszcze całek, nierówność potrzebną do tego zadania można wycisnąć z (1+1/n)ⁿ<e<(1+1/n)ⁿ⁺¹ poprzez logarytmowanie a to z kolei da się na przykład z nierówności Bernoulliego, jeśli znów się przyczepi

Idzi:

	1
Dlaczego		− ln(n+1) + ln n < 0 ?
	n+1

ABC: masz u jc 15:27 druga podwójna nierówność od góry, przenieś sobie na jedną stronę wszystko

Idzi: Faktycznie, dziękuję bardzo. Z d wydaje mi się, że sobie już poradziłem, wyszedł malejący i większy od 0.