Jak obliczyć takie całki? Liczba_π:

	dx		x2*dx		dx
1) ∫		2) ∫		3)∫tg2x*
	sinx		√(x+1)2−1		cosx

Jerzy:

	sinx		sinx
1) Np, tak: = ∫		dx = ∫		dx i podstawienie: cosx = t
	sin2x		1 − cos2x

ICSP: 1) lub tak :

	1		1
∫		dx = ∫		dx = ...
	sinx		2 cos2(x/2) * tg(x/2)

Jerzy:

	x		1
1) lub od razu podstawienie: t = tg(		) , co da ci: ∫		dt = ln|t| + C
	2		t

Mariusz:

	x2
∫		dx
	√x2+2x

√x²+2x=t−x x²+2x=t²−2tx+x² 2x=t²−2tx 2tx+2x=t² x(2t+2)=t²

	t2
x=
	2t+2

	t2+2t
t−x=
	2t+2

	2t(2t+2)−2t2
dx=		dt
	(2t+2)2

	2t2+4t
dx=		dt
	(2t+2)2

	t4	2t+2	2(t2+2t)
∫				dt
	(2t+2)2	t2+2t	(2t+2)2

1		t4
	∫		dt
4		(t+1)3

1		((t+1)−1)4
	∫		dt
4		(t+1)3

1		((t+1)4−4(t+1)3+6(t+1)2−4(t+1)+1
	∫		dt
4		(t+1)3

1		dt		dt		dt
	(∫(t+1)dt−4∫dt+6∫		−4∫		+∫		)
4		t+1		(t+1)2		(t+1)3

1		t+1		4		1	1
	(		−4(t+1)+		−			+6ln(t+1))+C
4		2		t+1		2	(t+1)2

jc:

	3t + sh t ch t − 4 sh t
Druga całka = ∫(ch t − 1)2 dt =
	2

x=ch t − 1 ch t = x+1 sh t = √(x+1)² − 1 t = ...

jc: t = ln(cht + sh t) = ln(x+1 + √(x+1)² −1)

Mariusz: Na całkę

	x2
∫		dx
	√x2+2x

działa też inne podstawienie Trójmian x²+2x posiada rzeczywiste pierwiastki więc zapisujesz go w postaci iloczynowej x²+2x=x(x+2) i stosujesz podstawienie √x²+2x=(x+2)t x²+2x=(x+2)²t² x(x+2)=(x+2)²t² x=(x+2)t² x=xt²+2t² x−xt²=2t² x(1−t²)=2t²

	2t2
x=
	1−t2

	2
x=−2+
	1−t2

	2t
(x+2)t=
	1−t2

	4t(1−t2)+2t(2t2)
dx=		dt
	(1−t2)2

	4t
dx=		dt
	(1−t2)2

	4t4	1−t2	4t
∫				dt
	(1−t2)2	2t	(1−t2)2

	8t4
∫		dt
	(1−t2)3

Obydwa powyższe podstawienia pozwolą ci policzyć każdą całkę postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx , gdzie R(x,y) to funkcja wymierna dwóch zmiennych

Mariusz: jc tylko po co mieszać te hiperbolicusy tak trudno policzyć całkę z potęgi ?

jc: Bo wolę policzyć w jednej linijce, niż dziesięciu.

Mariusz: jc sprawdzałeś co dostaniesz po złożeniu podstawień area i za exponentę ? W tej całce będzie to x=cosht a następnie u=e^t