grupa student: Jeżeli mamy przedstawić tabelkę działania x zbioru 3−el. wiedząc, że mamy grupę, to o czym trzeba pamiętać? Na pewno działania w kolumnie i wierszu z el. neutralnym dadzą ten sam wiersz i kolumnę. Czy cos jeszcze?

Saizou : Najlepiej liczyć każde działanie po kolei

student: A czy element może sam do siebie być przeciwny?

student: tj. e−neutralny, d−element ze zb. d x d= e

student: A jak w drugą stronę: mam tabelkę działania. Jest metoda żeby szybko sprawdzić czy to grupa? Np. gdy tabelka jest symetryczna?

Pan Kalafior: Ogólnie to nie można szybko sprawdzić, bo łączność jest trudna do sprawdzenia. Element może być do siebie przeciwny, np. element neutralny. Ogólnie to x = x⁻¹ ⇔ x ma rząd 1 (kiedy jest neutralny) lub 2 Tw. Lagrange'a mówi że nie ma takich nietrywialnych elementów w grupie rzędu 3.

Pan Kalafior: Ogólnie to każda grupa 3 el. jest izomorficzna z Z₃

Pan Kalafior: Tzn. bycie grupą trochę ułatwia sprawę, chociaż z grupami rzędu 2ⁿ są lekkie problemy, po prostu większość grup jest właśnie rzędu 2ⁿ.

Pan Kalafior: Robiąc tabelkę grupy rzędu 3, niech e, x, y to elementy 1. Wszystkie kolumny/wiersze mają różne elementy. Bo gdyby tak nie było, niech są 2 takie same elementy w jednym wierszu to dla z, y₁, y₂ mamy (z to wiersz, y₁, y₂ różne kolumny) zy₁ = zy₂, to y₁ = y₂, sprzeczność 2. Gdyby xy = x to y = e. Sprzeczność. Podobnie dla xy = y. Więc xy = e i tak samo yx = e. To ci pozwoli skończyć tabelę