Studia-Indukcja matematyczna Kilkać: Wykazać że dla każdego n∊ℕ jest spełniona nierówność: (1+a)ⁿ≥1+na+ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂a² Doszedłem do tego momentu: (1+a)ⁿ⁺¹≥1+a(n+1)+na²+^{n(n+1)−n(1+a)}₂co dalej czy dowód jest już skończony?

Kilkać: Proszę o pomoc od jeszcze do końca tego nie rozumiem

Maciess: Czy masz po prostu udowodnić nierownośc Bernoulliego?

Kilkać: Tak, dokładnie

Kilkać: Indukcyjnie oczywiście

Maciess: Założenie indukcyjne pomnóż obustronnie przez (1+a)

Kilkać: Już to zrobiłem i po wyciągnięciu a przed ułamkiem oraz k w ułamku właśnie to mi wyszło

Kilkać: Wcześnie oczywiście licznik przemnozylem

Kilkać: Co teraz mam zrobić?

Kilkać: Nie k tylko n pomyliłem sie

6latek: ⋀n∊N i ⋀a∊R i a>−1 (1+a)ⁿ≥1+na Dowod dla n=1 nierownosc jest prawdziwa (1+a)¹≥1+a Zalozmy ze (1+a)ⁿ≥1+na i n>1 (zalozenie indukcyjne mamy wykazac ze (1+a)ⁿ⁺¹≥1+(n+1)a Mnozymy obie strony nierownosci (1+a)ⁿ≥1+na obustronnie przez a+1 mamsz bowiem a>−1 to a+1>0 Wtedy (1+a)ⁿ(1+a)≥(1+na)(1+a) (1+a)^Nn+1}≥1+na²+a+na≥1+na+a=1+(n+1)a masz udowodnione ze nierownosc wyjsciowa jest prawdziwa dla dowolnej liczby n i dowolnej a>−1 ja nie uzywam k

Kilkać: czyli miałem tylko dla wyjściowej udowodnić? A co z tym członem: ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂a² ?

ABC: małolat udowodnił zwykłą nierówność Bernoulliego a ty masz udowodnić uogólnioną niestety, to pewnie taki test ze strony prowadzącego zajęcia, bo w internecie ciężko znaleźć to zrobione indukcją

Kilkać: czyli co mam dalej z tym zrobić?

ABC: udowodnić indukcyjnie ale swoją wersję

ICSP: Dla a = −1 wyrażenie po lewej stronie → ∞, więc ciężko aby było mniejsze od 0 dla dowolnego n. Jak widać nierówność nie jest prawdziwa.

ABC: gdy wypisze prawidłowe założenia to mu wyjdzie