Help!!!: Czy ciąg jest ograniczony z dołu lub z góry Cn=(1/n+1)+(1/n+2)+...+(1/n+n)

Basia: a_n=n+1/n a_n+1=n+1+1/(n+1) a_n+1-a_n=n+1+1/(n+1)-n-1/n=1+(n-n-1)/[n(n+1)]=1-1/[n(n+1)]≥0 dla k.n∈N czyli {a_n} jest rosnący a₁=2 i to jest ograniczenie z dołu lim(n→+∞)(n+1/n)=+∞+0=+∞ nieograniczony z góry

Basia: oj nie sorry to nie to c_n=1+2+3+...+n+n*1/n=(1+2+....+n)+1=[n(n+1)/2] +1 = [n(n+1)+2]/2=[n²+n+2]/2 ograniczony z dołu przez c₁=2 i nieograniczony z góry

Help%21%21%21: hm... w odpowidziach mam ze jest ograniczony z gory M=1

Mycha: pytanie czy a_n=n+1/n czy raczej a_n=1/(n+n)

Help: zadanie jest dokładnie takie: Zbadać czy podany ciąg jest ograniczony z góry: a_n=[1/(n+1)] + [1/(n+2)]+...[1/(n+n)] / (slash) czytaj jako ułamek

Help: wogole nie czaje tych zadan z ograniczeniami.... jak to sie rozwiazuje...

Basia: no to pisz od razu dokładnie bo szkoda czasu

Basia: n<n+1<n+2<...<n+n ⇒ 1/n>1/(n+1)>1/(n+2)>....>1/(n+n) czyli 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n)<1/n+1/n+...+1/n=n*1/n=1 czyli ograniczony z góry liczbą 1 bo wszystkie jego wyrazy są <1 z dołu też jest ograniczony liczbą 0

Help: masz racje... przepraszam

Basia: jakiejś jednej zasady nie ma; trzeba się przyjrzeć wyrazom ciągu i spróbować wzór tak przekształcić żeby było widać, że wszystkie wyrazy są mniejsze (większe) od jakiejś liczby

Help: ok dzięki bardzo!

Help: jeszcze jedno pytanko: jeśli badasz monotoniczność ciągu od pewnego miejsca to kiedy stosujesz a_n+1/a_n a kiedy a_n+1-a_n

b.: iloraz a_n+1/a_n tylko, gdy wszystkie wyrazy są dodatnie; różnicę można zawsze czyli dla dodatnich są 2 możliwości i to, którą lepiej użyć zależy od ciągu (np. jak występuje n! to często lepiej iloraz, bo się dużo skróci...)