Indukcja matematyczna w nierówności Tensor: wykaż, że dla każdego n naturalnego 2! * 4! * ... * (2n)! >= ((n+1!)ⁿ Baza: dla n = 1: 2! = 2! Krok indukcyjny: Założenie: dla każdego n naturalnego zachodzi: 2! * 4! * ... * (2n)! >= ((n+1!))ⁿ Teza indukcyjna: dla każdego n naturalnego zachodzi 2! * 4! * ... * (2n + 2)! >= ((n+2)!)ⁿ⁺¹ Z założenia indukcyjnego: 2! * 4! * ... * (2n)! * (2n + 2)! >= ((n+1)!)ⁿ * (2n + 2)! Co dalej należy wykonać? ((n+1)!)ⁿ * (2n + 2)! >= ((n+2)!)ⁿ⁺¹ Jeśli tak, to w jaki sposób tego dowieść?

Krzysiu: ((n+1)!)ⁿ * (2n + 2)! >= ((n+2)!)ⁿ⁺¹ ((n+1)!)ⁿ * (2n + 2)! >= ((n+1)!)ⁿ⁺¹ * (n+2)ⁿ⁺¹ (2n+2)! >= (n+1)! * (n+2)ⁿ⁺¹ (2n+2)! >= (n+1)! * (n+2) * (n+3) * (n+4) * ... * (2n+2) (2n+2)! >= (2n+2)!

Pan Kalafior: Nie dla każdego n, tylko jakiegoś konkretnego Nierówność jest ⇔ (2n+2)! ≥ (n+2)! (n+2)ⁿ lub (2n+2)...(n+3) ≥ (n+2)ⁿ, po lewej mamy n składników, a sama nierówność jest teraz oczywista.

jc: Chyba łatwiej przejść od n−1 do n. 2! 3! ... (2n−2)! ≥ (n!)ⁿ⁻¹ Mamy uzyskać 2! 3! ... (2n−2)!(2n)! ≥ [(n+1)!]ⁿ Lewa strona została pomnożona przez (2n)!, prawa przez n!(n+1)ⁿ Wystarczyłoby, gdyby (2n)! ≥ n! (n+1)ⁿ co jest równoważne nierówności (n+1)(n+2)...(2n) ≥ (n+1)(n+1) ... (n+1) Faktycznie, po prawej stronie wyraźnie mniej.

Tensor: Krzysiu − nie rozumiem tego przejścia z 3 na 4 linijkę. Pan Kalafior − jak uzasadnić, że nierówność (2n+2)! ≥ (n+2)! (n+2)ⁿ jest prawdziwa?

jc: Weź n o jeden mniejsze, będzie czytelniej: (2n)! ≥ n! (n+1)ⁿ n+1 ≥ n+1 n+2 ≥ n+1 ... n+2 ≥ n+1 mnożymy stronami. (n+1)(n+2)...(2n) ≥ (n+1)ⁿ a teraz mnożymy przez n! (2n)! ≥ n! (n+1)ⁿ