GRUPY PRZEMIENNE bluee: Zbadać, czy podane zbiory ze zdefiniowanymi działaniami są grupami. Czy są to grupy przemienne? a). W (0;∞) definiujemy x * y = x^{log₂ y}; To zadanie z 8 podpunktami. Tutaj jest tylko pierwszy. Czy ktoś mógłby mi pokazać przykładowe rozwiązanie?

bluee: Nie było mnie na wykładzie i sama próbuję to rozgryźć.

ite: Polecam ten filmik https://www.youtube.com/watch?v=CgA0KebC5Lo

bluee: Najpierw muszę sprawdzić czy działanie jest działaniem łącznym. Możenie jest działaniem łącznym. (a*b)*c=a*(b*c). Ale co z potęgą i logarytmem? Potem muszę sprawdzić czy istnieje element neutralny dla mnożenia. . Tutaj e=2

ite: działanie * nie jest mnożeniem!

Saizou : Grupa to zbiór składający się ze zbioru G i określanego na nim działania * (działania wewnętrznego), które spełnia warunki 1) łączność a*(b*c)=(a*b)*c 2) istnienie elementu neutralnego e e*a=a oraz a*e=a 3) istnienie elementu przeciwnego −a a*(−a)=e oraz (−a)*a=e, gdzie e to element neutralny Dodatkowo, jeśli działanie * jest przemienne, tzn. a*b=b*a to jest to grupa abelowa (przemienna) W=(0:+∞) x*y=x^log₂y 1) przemienność x*(y*z)=x*(y^log₂z)=x^{log₂(ylog₂z)}=x^{log₂z•log₂y}=(x^log₂y)^log₂z=(x*y)*z działanie jest przemienne 2) istnienie elementu neutralnego przypuśćmy, że istnieje taki element e, tzn. x*e=x x^log₂e=x /logarytmujemy obustronnie logarytmem o podstawie x, jeśli x≠1 log₂e=1 e=2¹ =2 jeśli x=1 to 1*e=1^log₂e=1 Podobnie należy pokazać e*x=x 3) istnienie elementu przeciwnego x*y=e czyli x*y=2 x^log₂y=2 jeśli x≠1, to log₂y=log_x2 y=2^log_x2 jeśli x=1, to 1*y=2 1^log₂y=2 sprzeczność zatem element przeciwny nie istnieje dla x=1, czyli * nie jest działaniem wewnętrznym, zatem nie jest to grupa PS. Najlepiej zacząć sprawdzać od przemienności, wówczas warunki 2) i 3) sprowadzają się do sprawdzenia tylko jednej równości. Jak się gdzieś nie walnąłem, bo nie lubię algebry

ite: równie dobrze można by zapisać x♥y=x^log_xy

bluee: Jak zatem interpretować ten znak?

Saizou : działanie masz określone x*y=x^log₂y może coś prostszego x ♥ y=x+y+x*y pomyślmy o tym jako funkcji o dwóch argumentach x oraz y. Po lewej stronie masz jakby f(x,y), tylko zapisane za pomocą symbolu działania ♥, a po prawej masz przepis jak działać tą funkcją (działaniem) i tutaj już są znajome ci działania np. x ♥ y=x+y+x*y dla x=1 i y=2 1 ♥ 2 =1+2+1*2=3+2=5

bluee: W a). jest gwiazdka na wysokości środka lini. W b). mam kułko z + w środku. Mam to interpretować tak samo jak ?

Saizou : dokładnie tak to tylko oznaczenia działnia

bluee: Czy przy badanie elementu przeciwnego zamiast y nie powinna być inna zmienna oznaczająca element przeciwny np. u ?

Saizou : to bez większego znaczenia

bluee: Ale y oznacza element przeciwny a za x podstawiamy wartość z danego zbioru?

bluee: W tym przypadku. Po prostu wydaje mi sie to za łatwe

Saizou : element przeciwny y (do elementu x) x*y=e np. (ℤ,+) będzie grupą x+y=0 y=−x czyli elementem przeciwnym do x jest −x

bluee: W R x*y=x+y+3 Wyszło mi, że e=−3, a elmeentem przeciwnym dla x=0 jest y=−6. Czyli jest to grupa.

Saizou : Element neutralny jest okej. Element przeciwny musisz podać w zależność od x, bo on jest za każdym razem inny, a ty podałaś tylko dla x=0

bluee: Co oznacza jak w jednym przykładzie mam zmienne w kwadratowych nawiasach? Z_≡mod7 definiujemy [k]*[l]=[k+l]

bluee: No tak mój błąd zatem element przeciwny do x to −6 −x

Saizou : Za pewne klasy abstrakcji

Pan Kalafior: Klasy abstrakcji względem kongruencji x ≈ y ⇔ 7|(x−y) Oznacza się również Z/7Z lub Z/(7). W nawiasach, ponieważ jest to ideał główny Z (teoria pierścieni).

bluee: czyli np. (k*l)*x=[k+l]*x=[k+l+x]

Pan Kalafior: W pewnym sensie, ale nie do końca. * nie jest zdefiniowana dla elementów Z, ale można zdefiniować x*y = p(x)*p(y), gdzie p to przekształcenie kanoniczne względem kongruencji, to jest, p(x) = [x]