Oblicz wyrażenie
Mohito: Pierwiastki z liceum. Ktoś podpowie jak rozwiązać to zadanie?
Oblicz wartość wyrażenia dla a=2020
(1+√a)(1+4√a)(1+8√a)(1+p16{a})...(1+p1024{a})(1−p1024{a})
10 paź 17:43
Bleee:
Rozumiem że te wartości to stopień pierwiastka
Zauważ wzór skróconego mnozenia.
(1 + b) (1 − b) = 1 − b2
b = a1/1024
To b2 = a1/516 i znowu masz wzór skróconego mnozenia
I znowu i znowu itd.
Az w końcu będzie (1+√a)(1−√a) = 1 − a
10 paź 17:56
Mila: Oblicz wartość wyrażenia dla a=2020
Mohito Jakie to wyrażenie?
Tam są pierwiastki 16 stopnia z a i pierwiastki 1024 stopnia z a ?
Może daj na wrzutę to wyrażenie.
10 paź 17:58
Mohito: To są stopnie pierwiastków. Przepraszam za nieczytelność.
10 paź 17:59
Mohito: Bleee
Okej wzór skróconego mnożenia widzę tylko na końcu. A co z pocżątkiem działania?
10 paź 18:06
Blee:
zauważ że masz na początek:
(1 + p1024(a))(1 − p1024(a)) = 1 − p512(a)
w drugim kroku
(1 + p512(a))(1 − p512(a)) = 1 − p256(a)
itd.
teraz widzisz to
10 paź 18:17
Mila:
(1+
√a)(1+
4√a)(1+
8√a)(1+a
(1/16))...(1+a
1/1024)*(1−a
1/1024)
Kolejne wykładniki :
| 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
| , |
| , |
| , |
| ,.... |
| |
| 2 | | 4 | | 8 | | 16 | | 1024 | |
Rozwiązujemy podobny przykład, ale łatwiejszy:
(1+
√a)(1+
4√a)(1+
8√a)(1+a
(1/16))(1+a
(1/16))*(1−a
(1/16))=
=(1+
√a)(1+
4√a)(1+
8√a)(1−a
(1/8))=
=(1+
√a)(1+
4√a)(1−
4√a)=
=(1+
√a)(1−
√a)=(1−a)=1−2020
10 paź 18:18
Mohito: Dzięki Bleee, dzięki Mila.
Mila czy możesz łopatologicznie wyjasnić skąd te wykładniki ?
10 paź 18:33
Saizou :
Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:
√a=a1/2
4√a=a1/4
....
n√a=a1/n
Zatem nasze wyrażenie można zapisać tak (zapisuję od tyłu)
(1−a1/1024)(1+a1/1024)(1+a1/512)...(1+a1/8)(1+a1/4)(1+a1/2)
korzystamy ze wzoru x2−y2=(x−y)(x+y)
(1−a1/1024)(1+a1/1024)(1+a1/512)...(1+a1/8)(1+a1/4)(1+a1/2)=
(1−(a1/1024)2)(1+a1/512)...(1+a1/8)(1+a1/4)(1+a1/2)=
(1−a1/512)(1+a1/512)...(1+a1/8)(1+a1/4)(1+a1/2)=
...=
(1−a1/2)(1+a1/2)=1−a
10 paź 18:50
Mila:
10 paź 18:54
Mohito: Kurcze, dotarło. Pięknie dziękuje Wam za pomoc
11 paź 09:13