Rownania funkcyjne Pan K: Zadania w ktorych nalezy znalezc niewiadoma funkcje na podstawie zadanej tozsamosci ktora funkcja ta ma spelniac nazywaja sie rownaniami funkcyjnymi . Zadanie nr 207 Wiadomo ze funkcja f:<0,∞)→<0,∞) spelnia rownanie funkcyjne : f(x+y)= f(x)+f(y) . a) wyznacz f(0) b) Wykaz ze dla n∊NU{0} i x∊<0,∞) prawdziwa jest rownosc f(n*x)= n*f(x) c) Wykaz ze dla n,m ∊N i x∊<0,∞) prawdziwa jest rownosc

	n		n
f(		)=		*f(x)
	m		m

Pan K: ma byc oczywiscie w ostatniej linijce

	n		n
f(		*x)=		*f(x)
	m		m

Pan K: O co tutaj chodzi w ogole ?

Pan K:

ABC: f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) stąd f(0)=0 f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x) i tak dalej, formalny dowód przez indukcję

Pan K: ABC indukcje zostawiam jesli mam policzyc f(0) to musze przyjac x=0 i y=0 tak ? Wtedy pisze f(0)= f(0+0)= f(0)+f(0)= 2f(0) stad f(0)=0 dlaczego =0 wytlumacz prosze .

ABC: odejmujesz od obu stron równości f(0) czy też przenosisz wszystko na jedną stronę jak zwał tak zwał

Saizou : f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) to znaczy że f(0)=2f(0) f(0) traktujemy jako niewiadomą f(0)=0

Pan K: Mus przetrawic OK. dzieki

Pan K: natomiast jeslibym mial obliczyc f(3) f(3)= f(3+3)= f(3)+f(3)= 2f(3) f(3)−2f(3)=0 f(3)=0 ?

Saizou : zauważ że zrobiłeś z f(3)=f(6)

Pan K: Saizou to nie wiem w takim razie jak ma byc Mozesz pokazac ?

Saizou : Masz za mało danych aby obliczyć f(3).

Pan K: Saizou pociagne temat wieczorem jesli bedziesz na forum .Na razie dziekuje .

Pan K: Saizou dlaczego jest za malo danych zeby to rozwiazac ?

Saizou : Liczbę 3 mogę zapisać jako sumę 0 i 3 albo 1 i 2 (innych opcji nie ma, ze względu na dziedzinę funkcji f) I przypadek f(3)=f(0+3)=f(0)+f(3) ale f(0)=0 f(3)=f(3) stąd nie da się obliczyć f(3) II przypadek f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2) potrzebujemy f(1) oraz f(2), tego nie da się obliczyć z tego samego powodu co I przypadek

Pan K: teraz jesli mozesz to wytlumacz b) i c)

Saizou : f(nx)=f(x+(n−1)x)=f(x)+f((n−1)x)=f(x)+f(x+(n−2)x)=...=nf(x)

Saizou : c) będzie podobnie

Pan K: dzieki zaraz to przepisze sobie do zeszytu