Niewymierność iloczynu pierwiastków kwadratowych liczb pierwszych Diego020: Niech zbiór K będzie zbiorem pierwiastków kwadratowych wszystkich liczb pierwszych. Czy dla dowolnego niepustego podzbioru zbioru K iloczyn elementów tego podzbioru jest niewymierny? Odpowiedź uzasadnij.

Pan Kalafior: √n jest wymierne ⇔ n jest kwadratem

Diego020: Wiem, ale trzeba to wykazać. Trzeba też wykazać, że iloczyn pierwiastków kwadratowych dowolnych liczb pierwszych jest niewymierny.

Diego020: Wiem, ale trzeba to wykazać. Trzeba też wykazać, że iloczyn pierwiastków kwadratowych dowolnych liczb pierwszych jest niewymierny.

Saizou : Niech P⊂K, wówczas P={√p₁, √p₂, ...p_n} gdzie p_i to liczby pierwsze √p₁*√p₂*...*√p_n=√p₁*p₂*...*p_n Przypuśćmy, że √p₁*p₂*...*p_n jest to liczba naturalna q q=√p₁*p₂*...*p_n q²=p₁*p₂*...*p_n a to jest sprzeczność, ponieważ iloczyn różnych liczb pierwszych nie może być kwadratem liczby naturalnej, zatem musi być on niewymierny

PW: Diego020, nie "dowolnych liczb pierwszych", lecz "różnych liczb pierwszych"