Rozmaitość barto$z: Dlaczego sfera jest dwuwymiarowa, a nie trzy? (rozmaitość)

kochanus_niepospolitus: Czy to jest pytanie z cyklu filozoficznych

barto$z: Nie, po prostu nie rozumiem za bardzo dlaczego tak jest A w Internecie nie mogę znaleźć niczego, co rozjaśniłoby mi umysł

kochanus_niepospolitus: to proszę −−− napisz wzór ogólny sfery i zaznacz w nim niewiadome

ABC: jest w internecie pojęcie sfery n−wymiarowej z przykładami i daleko nie trzeba szukać może być nawet 0−wymiarowa sfera w R¹ − składa się z dwóch punktów

kochanus_niepospolitus: ABC −−− a jeszcze nie wspominając o tym, co będzie się działo ze sferą w innych topologiach

Pan Kalafior: Załóżmy dla prostoty że to sfera jednostkowa S. Biorąc podzbiory A₁ = {(x, y, z)∊S : z>−1/2} oraz A₂ = {(x, y, z)∊S : z<1/2} widzimy że możemy ustalić funkcje ciągłe z tych zbiorów otwartych (na S) w R². Faktycznie, f:A₁→R², f(x, y, z) = (x, y) dla z≥0, f(x, y, z) = (√1−x², √1−y²) dla z>−1/2 określa mapę z A₂ w koło (otwarte) R². Taką samą mapę można wziąć dla A₂. Z definicji, sfera jest rozmaitością 2 wymiarową.

Pan Kalafior: Poprawiam się, nie funkcja ciągła tylko homeomorfizm. I miało być 0>z>−1/2. Ciekawostka: nie możemy mieć jednej mapy, bo S jest zwarta, więc obraz mapy musiałby być otwartym i domkniętym podzbiorem R². Ale R² jest spójna, więc obraz mapy to zbiór pusty (oczywiście nie może być), lub R², ale R² nie jest zwarte.