RELACJE RÓWNOWAŻNOŚCI bluee: Sprawdzic, czy ponizsze relacje sa relacjami równowaznosci a) W R okreslamy x ~ y ⇔, |x| = |y| ; b) W R okreslamy xRy ⇔, x ≥ y; c) W Z okreslamy k ≡ m(mod 7) ⇔, 7|(k − m): d) W R² okreslamy (x; y) ~ (u; v) ⇔, x² + y² = u² + v²; e) W R² okreslamy (x; y) ~ (u; v) ⇔, x = u; f) W R² okreslamy (x; y) ~ (u; v) ⇔, y = v; g) W R² okreslamy (x; y)R(p; q) ⇔, 2x + q = 2p + y; h) W N² okreslamy (k; l)ϱ(p; q) ⇔, k + q = p + l; i) W Z X N* okreslamy (k; l) ≡ (p; q) ⇔, k * q = p * l;

Saizou : Wypisz sobie warunku relacji równoważności (symetryczność, zwrotność i przechodniość) i sprawdzaj je po kolei dla każdego podpunktu

bluee: Dla zbioru X² i relacji R: relacja zwrotnej to ∀x∊X xRx

bluee: Mam rozumieć, że zachodzi taka relacja jeżeli wszytskie x należą do zbioru X?

Saizou : Pokażę ci pierwsze. Mamy relację określoną na zbiorze liczb rzeczywistych x~y ⇔ |x|=|y| 1) zwrotność dla każdego x∊X xRx x~x⇔|x|=|x| to jest prawdziwe dla każdego x rzeczywistego 2) symetryczność dla każdego x, y ∊R xRy⇒yRx x~y⇔|x|=|y| |x|−|y|=0 −(|y|−|x|)=0 |y|−|x|=0 |y|=|x| 3) przechodniość dla każdego x, y, z∊R (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz x~y ⇔ |x|=|y| y~z ⇔ |y|=|z| , zatem |x|=|z|

bluee: Nie przemawia to do mnie.

Pan Kalafior: Mamy funkcję f:X→Y, i relację równoważności ∼ na zbiorze Y, to relacja x ≈ y na X wtedy, tylko wtedy gdy f(x) ∼ f(y) jest relacją równoważności. Tutaj f:R→R, f(x) = |x| i relacją∼ jest równość. Można tego twierdzenia użyć do przykładów a, d, e, f, g, h, i. Dowód. Jeśli x∊X, to z własności równości, f(x) = f(x), więc f(x) ∼ f(x), bo ∼ to relacja równoważności skąd x ≈ x. Jeśli x ≈ y, to f(x) ∼ f(y), zatem f(y) ∼ f(x) bo to relacja równoważności, więc y ≈ x. Jeśli x ≈ y, y ≈ z, to f(x) ∼ f(y) i f(y) ∼ f(z) skąd f(x) ∼ f(z) więc x ≈ z.

Pan Kalafior: Właściwie to do c też, jeśli zdefiniujemy f(x) jako resztę z x przez 7, i zauważymy, że 7|(x−y) ⇔ f(x) = f(y)

bluee: czy powinno być tak: a). symetryczna b). brak relacji równoważności c). przechodnia d).symetryczna przechodnia e). przechodnia f). przechodnia h). symetryczna i). symetryczna

bluee: Gdzie powinna być relacja zwrotna?

Pan Kalafior: Za dużo tekstu, co nie?

bluee: Czy pisząc równość masz na myśli relację zwrotną?

Pan Kalafior: Tak, a pomarańcze to takie banany.

bluee: Nie, nie za dużo. Po prostu nie było mnie na wykładzie, bo się rozchorowałam i dostałam zadania do domu. I próbuję jakoś to rozgryść.

bluee: Co do pomarańczy i bananów to raczej przypadłość daltonistów

bluee: Na razie miałam tylko pojęcie relacji zwrotnej, przechodniej i symetrycznej. Więc zanim przejdę do innych najpierw spróbuję ogarnąć te.

bluee: Tak więc dla a). jest to relacja symetryczna ponieważ dla każdej liczby x, która nie jest równa y można za y podstawić liczbę y która będzie przeciwna do x. Czy to dobry tok rozumowania?

Pan Kalafior: To co udowodniłem jest dosyć fajne samo w sobie. Mamy pewną własność, że dla funkcji f można zdefiniować relację x ≈ y ⇔ f(x) = f(y) Odwrotnie, mając relację równoważności ≈, można zdefiniować f jako funkcję f(x) = [x] gdzie [x] = {y : x ≈ y}, i wtedy x ≈ y wtedy i tylko wtedy gdy f(x) = f(y). Twierdzenie. Relacja ≈ na X jest relacją równoważności, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja f na X, taka że x ≈ y ⇔ f(x) = f(y).

Saizou : Panie Kalafiorze tutaj raczej chodzi o to, żeby zbadać odpowiednie własności i wyciągnąć wniosek, że relacja jest relacją równoważności Bo to dopiero początek, sądząc po zadaniach

ABC: bluee relacja symetryczna oznacza że jeśli pomarańcza jest w relacji z bananem to banan musi być też w relacji z pomarańczą

ite: 🍌◻🍊 wttw 🍊◻ 🍌 ABC mistrzowskie podejście dydaktyczne

bluee: ABC Dzięki za łopatologiczne podejście do sprawy. Patrząc dalej: Relacja jest zwrotna jeżeli banan jest w relacji sam ze sobą. Przechodnia jeżeli banan jest w relacji z cytryną, cytryna w relacji z pomarańczą z czego wynika, że banan jest w relacji pomarańczą. Dobrze

ABC:

bluee: A). Relacja symetryczna B). Brak relacji równoważności

ABC: bluee ale jak rozumiem pytanie było które z tych 9 relacji podanych są relacjami równoważności? więc odpowiedź a)relacja symetryczna jest niekompletna, z kolei jeśli twierdzisz że relacja nie jest równoważności, to podaj którego warunku nie spełnia, najlepiej z przykładem w b) możesz napisać że nie jest symetryczna bo 7≥3 ale nieprawda że 3≥7

bluee: Dzięki za wskazówkę

bluee: Wiem, że muszę przedstawić dowód. Chciałam się upewnić, że stawiam właściwą tezę.

bluee: A). relacja symetryczna −3≠3⇔|−3|=|3| 3≠−3⇔|3|=|−3| B). Relacja nie jest równoważna 10≥1 prawda 1 1≥10 fałsz 0 sprzeczność c). relacja przechodnia 7a+k=m 7a=k−m 7|(k−m) prawda 1 d).relacja symetryczna (−9,2)~(9,−2)⇔81+4=81+4 (9,−2)~(−9,2)⇔81+4=81+4

bluee:

ite: Musisz wykazać, że dana relacja ma podane 14:12 własności, tak jak zrobił to Saizou, a nie na przykładach. Poszukaj w necie podobnych zadań i poczytaj.

Saizou : Konkluzja jest taka: jeśli relacja R ma jakąś własność, to musisz ją pokazać formalnie jeśli relacja R nie ma jakiejś własności wystarczy kontrprzykład

Saizou : b) xRy ⇔ x≥y 1. zwrotność xRx⇔x ≥ x jest to prawda dla każdego x rzeczywistego 2. symetria relacja nie jest symetryczna ponieważ dla x=1 oraz y=0 mamy (xRy) 1≥0 ale nie prawdą jest że 0≥1 (yRx) 3. przechodniość xRy ⇔ x ≥ y yRz ⇔ y ≥ z, zatem x ≥ z czyli xRz relacja przechodnia

bluee: Jak w d, e i f mam rozumieć, że współrzędne są ~, skoro mają różne wartości?

ICSP: d) Możesz to rozumieć np tak: Masz dwa punkty na płaszczyźnie (x,y) oraz (u , v) i mówisz, że są one ze sobą w relacji gdy ich odległość od (0,0) jest taka sama. Czyli np punkty (1,1) i (−1 , −1) są ze sobą w relacje, ale już punkty (2 , 1) i (2 , 2) nie są. Postaraj się zrozumieć co dana relacja oznacza a dopiero potem udowadniaj jej własności. Przy zrozumieniu łatwiej o ewentualny kontrprzykład.

ite: ICSP klasy abstrakcji będą tworzyć punkty należące do współśrodkowych okręgów o tych samych promieniach, tak?

ICSP: Można tak powiedzieć. Wybierasz punkt na płaszczyźnie powiedzmy P. Ustalasz środek okręgu na punkt (0,0) i promień obierasz tak aby okrąg przechodził przez punkt P. Wtedy klasą abstrakcji dla punktu P będzie dowolny punkt który leży na okręgu.

ite: to pytam dalej : ) e) w R 2 określamy (x; y) ~ (u; v) ⇔, x = u tu klasą abstrakcji dla punktu P będzie dowolny punkt należący do prostej przechodzącej przez P i równoległej do osi OX f) w R 2 określamy (x; y) ~ (u; v) ⇔, y = v; klasą abstrakcji dla punktu P będzie dowolny punkt należący do prostej przechodzącej przez P i równoległej do osi OY?

ite: *odwrotnie zapisałam osie

ICSP: e) klasami abstrakcji będą proste pionowe ( ma się zgadzać tylko pierwsza współrzędna) f) klasami abstrakcji będą proste poziome ( mają się zgadzać drugie współrzędne)

ite: dziękuję za cierpliwe odpowiedzi

ite: A czy w g) (x; y)R(p; q) ⇔ 2x+q= 2p+y klasami abstrakcji będą proste o współczynnikach kierunkowych a=−2 ?