Udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej, że: Karolina: Udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej, że: liczba n³ + 2n jest podzielna przez 3, dla każdego n;

ABC: opiera się na tym że (n+1)³+2(n+1)=n³+3n²+3n+1+2n+2=(n³+2n) +3(n²+n+1)

Saizou : K1 spr. dla n=1 ⇒1³+2*1=1+2=3 K2 założenie że podzielność zachodzi dla pewnie k, tzn. 3|k³+2n⇔istnieje p taki, że k³+2n=3p K3 pokazanie, że podzielność zachodzi dla k+1 (k+1)³+2(k+1)= k³+3k²+3k+1+2k+2= k³+2k+3k²+3k+3= 3p+3(k²+k+1)=3t

PW: 1° Dla n=1 mamy 1³ + 2•1 = 3 − liczba podzielna przez 3. 2° Załóżmy przawsziwość twierdzenia dla n=k, to znaczy że liczba k³ + 2k jest podzielna przez 3 3° Teza indukcyjna: twierdzenie jest prawdziwe dla n=k+1, to znaczy liczba (k+1)³ + 2(k+1) jest podzielna przez 3. Dowód indukcyjny: (k+1)³ + 2(k+1) = k³+3k²+3k+1+2k+2 = (k³+2k) + 3(k²+k +1) − na mocy założenia indukcyjnego składnik w pierwszym nawiasie jest podzielny przez 3, a drugi składnik jest podzielny przez 3 w sposób oczywisty, zatem suma jest podzielna przez 3. Pokazaliśmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=1 i z założenia prawdziwości dla n=k≥1 wynika prawdziwość dla n=k+1, zatem na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe dla każdej naturalnej n≥1.

PW: Szanowni Koledzy, nie widziałem Waszych podpowiedzi.

ABC: nie ma tego złego ... teraz autorka ma potwierdzenie z różnych źrodeł i na różnym poziomie szczegółowości