rozniczkowanie barto$z: Czy funkcja może mieć ekstremum na końcu przedziału? Wiem, że wtedy nie policzę pochodnej, bo nie mam otoczenia tego punktu. Ale czy w jakiś inny sposób może znaleźć tam ekstremum? I drugie pytanie: czy funkcja stała ma ekstrema?

barto$z: ?

Mila: Funkcja stała nie ma ekstremum. Napisz zadanie z którym masz problem.

ABC: Mila z tą funkcją stałą bezpieczniej powiedzieć że nie ma ona ekstremum właściwego −przy warunku że w pewnym otoczeniu x₀ f(x)≤f(x₀) czy też f(x)≥f(x₀) ma ona ekstremum

6latek: Zreszta po co takie trudne pytania zadawac w niedziele Mozna bylo w poniedzialek

PW: Już jest poniedziałek. Do pierwszego pytania; Jeżeli punkt jest prawym krańcem przedziału, to trzeba wykazać, że w pewnym lewostronnym otoczeniu tago punktu wszystkie wartości funkcji są większe (mniejsze) od wartości na krańcu przedziału. Jeżeli jest to "sztucznie obcięta" funkcja monotoniczna (funkcja monotoniczna o dziedzinie obciętej do przedziału domkniętego), to problemu nie ma.

Pan Kalafior: Niestety, większość twierdzeń o ekstremach mówi o przedziałach otwartych (zbiorach otwartych). Nie jest powiedziane że ekstremum we wnęrrzu przedziału musi istnieć. Dlatego, oprócz analizy pochodną, trzeba jeszcze sprawdzić końce przedziału.

barto$z: @PW, mógłbyś rozwinąć myśl z tym sztucznym obcięciem? Dlaczego nie ma problemu wtedy?

PW: Przykład f(x) = x², x∊[1, 3] f'(x) = 2x > 0 dla x∊(1, 3), a więc f jest rosnąca na (1, 3).. Jest oczywiste, że f(1) = f_min i f(3) = f_max, gdyż f jest funkcją rosnącą g obciętą do mniejszej dziedziny, np. g(x) = x², x∊(0, 4). Skkoro g jest rosnąca na (0, 4), to najmniejszą wartością f na przedziale [1, 3] jest f(1), a największą f(3).

barto$z: Wszystko jasne, dzięki

barto$z: Jeszcze wracając do tej f. stałej. Spotkałem się z określeniem, że wszystkie punkty funkcji stałej to jej ekstrema. Co Wy na to?

ABC: napisałem o tym wcześniej, ekstremum a ekstremum właściwe to dwie różne rzeczy

Pan Kalafior: Ekstremum to punkt który jest minimum lub maksimum lokalnym. Każdy punkt funkcji stałej jest zarówno jej maksimum jak i minimum lokalnym, czyli każdy jej punkt to ekstremum.