zbiory otwarte student: Suma nieskończenie wielu otwartych zbiorów zawsze będzie zbiorem otwartym?

ABC: suma będzie a część wspólna nie musi być

student: Ale załóżmy, że mamy sumę okręgów, o coraz większym promieniu. To przecież suma to będzie całe R². A przecież R² jest zbiorem otwartym, ale i domkniętym..

student: Drugie pytanie 2) Czy zbior jednoelementowy jest otwarty? 3) Czy zbior zlozony z kilku punktow np. {a,b,c} jest otwarty? Zacząłem właśnie topologię i wydaje mi się to wszystko nieco dziwne

ABC: no jest , ale żadnej sprzeczności w tym nie ma, zbiór może być jednocześnie otwarty i domknięty

ABC: to wszystko zależy od określenia topologii, są niektóre bardzo dziwne i nieintuicyjne sytuacje, wykładowca musi wytłumaczyć, a jak nie to donos do dziekana

student: 4) Czy punkt wewnętrzy jest takze punktem skupienia?

student: Zbiór ma być owarty, jeżeli dla każdego zawartego w nim punktu stworzymy kulę, która będzie siedziec w tym zbiorze. Ale jak mamy stworzyc kule, gdy mamy pojedynczy punkt/ punkty?

ABC: albo ty nie chodzisz na wykłady i ćwiczenia albo nauka w tym kraju upadła na dno i 5 metrów mułu − takie pytania powinny być wyjaśnione na początkowych zajęciach

student: Chodzę na wykłady, choć był to dopiero pierwszy i bardziej organizacyjny Jednak jestem ciekaw tego, co usłyszałem na samym wstępie, dlatego staram się drążyć temat tutaj

ABC: to poczekaj spokojnie aż się dowiesz na przykład o topologii dyskretnej i antydyskretnej

Pan Kalafior: Albo się nie dowie, bo topologię mu wykładać będą jedynie metryczną

ABC: może i tak być ale wtedy zobaczy że kula otwarta o środku x₀ i promieniu 1/2 w metryce dyskretnej jest jednoelementowa i mu się rozjaśni troszkę

student: Okej, czyli rozumiem, że w topologii dyskretnej zbiór jednoelementowy jest otwarty. (?) Ale to jest jakby wyjątek i normalnie (z tego co się orientuję) zbiór jednoel. uznawany jest za domknięty? Czyli wszystko zależy od tego, o jakiej topologii mówimy?

ABC: tak wszystko zależy od topologii

Pan Kalafior: Nie zawsze. Z tego co się orientuję to domkniętość zbiorów 1−el jest równoważna z T₂

Pan Kalafior: Nie do końca, z T₁ (przestrzeń Frecheta)

Pan Kalafior: Jeśli chodzi o topologię, to 'normalne' przestrzenie topologiczne to są przestrzenie Hausdorffa. Granice itd. bardzo ładnie się tam zachowują. W analizie innych się raczej nie spotyka. Oczywiście są i inne, topologia Zariskiego w teorii pierścieni. To jest dosyć ciekawe samo w sobie jak ktoś lubi algebrę.

ABC: mącisz studentowi w głowie −słowo "normalne" w topologii to są przestrzenie T₄, wszystkie metryczne z naturalną topologią takie są (ale są też T₄ niemetryzowalne jak strzałka) , a Hausdorffa są T₂. Lepiej było powiedzieć że Hausdorffa są już "przyzwoite" w sensie że dziwne rzeczy rzadziej się tam zdarzają, np ciągi zbieżne mają tylko jedną granicę itp.

Pan Kalafior: Ok. Myślałem że jak będzie w cudzysłowie to nikt się nie będzie czepiał.