grupy student: Czy zbiór macierzy nieosobliwych tworzy na ogół grupę abelową?

jc: nie

student: Dzięki

student: A jeżeli Z_p, gdzie p to liczba pierwsza, jest ciałem. A dlaczego dla p innych niż liczba pierwsza to nie jest ciało?

jc: W ciele każdy element ≠ 0 jest odwracalny. Jeśli p=a*b (zwykłe mnożenie), a,b ≠ 1,0, to nie odwrócimy b. Gdyby się dało, to mielibyśmy: a*b = 0, b*c = 1, 0=0*c=(a*b)*c = a*(b*c)=a*1=a (mnożenie w Z_p).

student: dzieki raz jeszcze

student: Chociaż nie do końca rozumiem, co wnosi ta ostatnia linijka...

student: a*b = 0, b*c = 1 skąd te założenia?

jc: Załóżmy że p jest liczbą złożoną. p=a*b, a,b > 1. a i b są elementami Z_p. Wtedy a*b=0 w Z_p. Gdyby istniał element odwrotny do b, to mnożąc obie strony przez ten element, dostalibyśmy a=0, ale a≠0, bo 0<a<p. Sprzeczność oznacza, że nie ma elementu odwrotnego do a, a więc Z_p nie jest ciałem.