Zadanie WhiskeyTaster: Mam pewne pytanie o zadanie: Ustal, ilu teoretycznie wyrazów szeregu

	(−1)k
π = 4∑k=0∞		potrzeba, aby obliczyć wartość π z błędem mniejszym niż 10−5.
	2k+1

Czy jest jakiś sposób, by to wyznaczyć bez użycia komputera?

jc: Wydaje mi się, że sumy częściowe na zmianę są większe − mniejsze od sumy szeregu.

	1
różnica pomiędzy kolejnymi sumami =		−U{2k+1}=U{2}{{4k2−1}
	2k−1

Wszystko mnożymy przez 4, wiec 2/k² < 10⁻⁵ k² > 2*10⁵ k > 500 powinno wystarczyć

jc:

1		1		2
	−		=
2k−1		2k+1		4k2−1

WhiskeyTaster: Okej, czyli tak w zasadzie szukamy dla jakich k różnica między kolejnymi sumami częściowymi jest mniejsza od zadanej wartości? Tylko zastanawia mnie, jak to sobie wyobrazić. Mamy pewną sumę częściową S_N, która zbiega do g przy N → ∞, tak? I tak samo jest dla tego szeregu, że zbiega on do π. Ale dla pewnych argumentów po prostu będzie ta suma częściowa mniejsza od π o tyle, o ile chcemy?

jc: Nie, ale w tym przypadku chyba tak.

jc: Poza tym chyba bzdury napisałem , ale teraz już wychodzę ....

WhiskeyTaster: W porządku, jeśli znajdziesz chwilę czasu i chęci, byłbym wdzięczny. Nie spieszy się.

Słoniątko: tu masz w okolicach 9 strony w tym linku Lemat 1 na ten temat http://maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl/W-ANA-szeregi.pdf

WhiskeyTaster: O, dziękuję, Słoniątko, teraz powinienem sobie z tym poradzić.

jc: grupujemy po 2

	1		1
suma = ∑k=0∞ (		−		)
	4k+1		4k+3

	1		1
Resztan = ∑k=n∞ (		−		)
	4k+1		4k+3

	1		1		1
< ∑k=n∞ (		−		) =
	4k		4k+4		4n

	1
W przypadku sumy nieparzystej liczby składników błąd zwiększy się od		.
	4n+1

WhiskeyTaster: Sprawdzę to jakoś później i dam znać. Dziękuję za pomoc.