zbieżność jednostajna szeregu Marcel: zbadać zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego fn(x)=n²(1−x)ⁿ , x∊<0;1> fn−>0 dla każdego przypadku z przedziału <0;1> zatem szereg jest zbieżny puktowo jednak w notatkach z zajęć mam policzoną pochodną, wyliczone ekstrema i następnie liczę granicę na ekstremum maksymalnym, która wyszła nieskończoność. Tutaj moje notatki się kończą. Nie wiem dlaczego. Czy to oznacza, że szereg jest zbieżny jednostajnie?

Ambroży z fabryki noży: po pierwsze − napisałeś cytuję "fn−>0 dla każdego przypadku z przedziału <0;1>" a dla x=0 również? po drugie wejdź tu http://math.uni.lodz.pl/~kfairr/analiza/rozdzial8.pdf i znajdź własność 8.2.8 przeczytaj powoli kilka razy może zrozumiesz

jc: Pytasz o szereg, a dalej piszesz ciąg. Sprawdź treść zadania.

Marcel: tak oczywiście się machnąłem przy przepisywaniu, zbyt dużo na jeden raz oczywiście chodzi o ciąg. W dodatku wyrażony wzorem fn(x)=n²x(1−x)ⁿ , x∊<0;1> zgubiłem gdzieś X−a. i właśnie tej własności mi było trzeba. Kłaniam się do stóp!

Marcel: weźmy jeszcze przykład ciągu fn(x)=ⁿ√x; x∊R₊ fn→1 dla x∊R₊ jeśli teraz wezmę powyższą własność − 8.2.8 istnieje m ∈ N, że Mn ∈ R dla n > m oraz lim n→∞ Mn = 0. wyjdzie mi, że lim n−>inf |ⁿ√x−1| = 0 zatem drugi warunek spełniony pierwszy warunek też wydaje się spełniony. Zatem ciąg jest zbieżny jednostajnie. Tymczasem wiem, że nie jest. Jeśli jednak wezmę z definicji |ⁿ√x−1|<Epsilon to już to ma większy sens, bo de facto to równanie nigdy nie będzie równe 0, zawsze będzie można znaleźć jakiś epsilon większy od 0

jc: 1 − f_n(1/2ⁿ) = 1/2 > 1/3, dlatego f_n nie jest jednostajnie zbieżny do 1. Jednak na każdym przedziale [a,∞), gdzie a>0, f_n jest jednostajnie zbieżny do 1.

jc: Oj, też nie jest f_n(2ⁿ) = 2 Na każdym przedziale [a,b], 0<a<b<∞, jest

Marcel: skąd wzięło się podstawienie jakiejś liczby do potęgi n?

jc: f_n(x)=n²x(1−x)ⁿ

1

n2

1

n2

n

n2

fn(

) =

(1−

)n ≥

(1−

) =

,

n+1

n+1

n+1

n+1

n+1

(n+1)2

a więc f_n nie jest jednostajnie zbieżny do 0, a punktowo jest.

Marcel: aaa o ten przykład chodzi, ja rozważałem ten drugi, który podałem ⁿ√x, bo teraz ten przykład nie daje mi spokoju

jc: Dla każdego epsilon >0 znajdziemy n0 takie, że dla każdego x i dla każdego n > n0 jesteśmy bliżej niż epsilon zaprzeczenie istnieje epsilon >0 takie, że dla każdego n0 znajdziemy n≥n0 i x, dla których jesteśmy dalej niż epsilon u mnie n0=n, x=2ⁿ (lub 1/2ⁿ). BYle jak napisane, ale wŁAŚNIE WYCHODZĘ

Marcel: czy ktoś może mi to sprawdzić? fn(x)=(x−¹_x)^1_n, x∊R₊ czyli pierwiastek n−tego stopnia, zapisałem tak, by było to bardziej czytelne. fn→1 supremum{|(x−¹_x)^1_n−1|}<epsilon

	(1/x2+1)n√x−1/x
liczę zatem pochodną. Otrzymuję
	n(x−1/x)

szukam ekstremum, czyli przyrównuję pochodną do 0. Kłopot w tym, że nie mogę tego zrobić, bo dla x=1 zachodzi dzielenie przez 0.

	(1/x2+1)n√x−1/x
Zatem liczę granicę lim n−>∞ |		− 1| = 1
	n(x−1/x)

nie chce być inaczej. Dlatego szereg nie jest zbieżny jednostajnie. Według odpowiedzi od prowadzącego jest.