Dowod BAI PING TING: Dla dowolnych liczb x,y (x+y)(1+xy)≤(1+x²)(1+y²) x+x²y+y+xy²≤1+y²+x²+x²y² jak to dalej przeksztalcac ?

jc: Korzystam z nierówności: 4ab ≤ (a+b)² oraz (1+x)² ≤ 2(1+x²) (spróbuj sam uzasadnić) 4(1+xy)(x+y) ≤ (1+x+y+xy)² = (1+x)²(1+y)² ≤ 4(1+x²)(1+y²)

jc: Inaczej.

x		1
	≤		(dlaczego?)
1+x2		2

y		1
	≤
1+y2		2

Dodajemy stronami

x		y
	+		≤ 1
1+x2		1+y2

Mnożymy przez (1+x²)(1+y²) x(1+y²) + y(1+x²) ≤ (1+x²)(1+y²) Lewa strona = (x+y)(1+xy)

BAI PING TING: ja to zostawiam to dla mnie za trudne Lzejsze nierownosci jakos daje rade .

ite: jc czy możesz wyjaśnić, skąd wiadomo że

x		1
	≤
1+x2		2

ICSP:

x		x		1
	≤		=		dla x > 0
1 + x2		2x		2

Wynika to bezpośrednio z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną.

ite: Nie potrafię zobaczyć, jakie liczby występują w tych średnich. Możesz napisać, jak tutaj wygląda ta nierówność?

jc: 0 ≤ (x−1)² = x² − 2x + 1 do obu stron dodajemy 2x 2x ≤ x² + 1 obie strony dzielimy przez 2(x²+1)

x		1
	≤
x2+1		2

ite: Jakie to proste, jak już się to zrozumie! Dziękuję🌷